Enunciado

Uma espaçonave executa uma órbita circular com período T ao redor de uma estrela. Se uma estrela com três vezes a massa da primeira estivesse em órbita, à mesma distância, o novo período (em termos de T) seria (a) 3 T , (b) T 3 (c) T , (d) T 3 ou (e) T 3 ?

Passo 1

Faaaaala meu povo, bora iniciar mais um livrinho com a gente!

Se liga que essa questãozinha nós iremos analisar qual seria o novo período em termo de T , então vem comigo.

Temos os seguintes dados:

m e s t r e l a 1 = M

m e s t r e l a 2 = 3 M

Primeiramente temos que admitir que não há forças exercidas na espaçonave, exceto a força da estrela em ambos os casos. Isso significa que a espaçonave está acelerando a uma aceleração centrípeta que é dada por:

a r = v 2 R

Onde R é a distância entre a nave e a estrela.

Aplicando a segunda lei de Newton, ficamos com:

∑ F r = F e s p a ç o n a v e = m n a v e × a r

A força exercida na nave pela largada é a força gravitacional que é dada por:

F e s p a ç o n a v e = G M m n a v e R 2

Dessa forma, temos:

G M m n a v e R 2 = m n a v e × a r

Passo 2

Analisando a equação anterior, podemos cancelar os termos m n a v e , assim ficamos com:

G M R 2 = a r

Sabemos que a r = v 2 R , substituindo temos:

G M R 2 = v 2 R

Simplificando, temos:

G M R = v 2

Sabemos que a velocidade de um movimento orbital é dada por:

v = 2 π R T

Substituindo em v 2 , temos:

G M R = 2 π R T 2

Resolvendo em termos de T , teremos:

T 2 = 4 π 2 R 2 T 2

Passo 3

Com o passo anterior descobrimos a fórmula geral para essa situação (e também é o tempo periódico para o primeiro caso da estrela de massa M). Agora precisamos encontrar o tempo no segundo caso em que a massa da estrela é igual a 3 M .

T 2 2 = 4 π 2 R 2 G ( 3 M )

T 2 2 = 1 3 × 4 π 2 R 2 G M

Por substituição, note que temos:

T 2 2 = 1 3 × T 2

T 2 = T 2 3 = T 3

Assim temos que o correto será a opção d).

Tudo certinho? Te vejo na próximaaaaa!

Resposta

T 3

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