Enunciado

A figura mostra quatro tubos de 1,0   m ou 2,0   m de comprimento e com uma ou duas extremidades abertas. O terceiro harmônico é produzido em cada tubo, e parte do som que escapa é captadas pelo detector D , que se afasta dos tubos em linha reta. Em termos da velocidade do som v , que velocidade deve ter o detector para que a frequência do som proveniente (a) do tubo 1 , (b) do tubo 2 , (c) do tubo 3 e (d) do tubo 4 seja igual à frequência fundamental do tubo?

Passo 1

Vamos começar lembrando da fórmula para o efeito Doppler:

f ' = f   v ± v D v ± v s

Onde f ' é a frequência medida pelo detector, f é a frequência emitida pela fonte, e v D são as velociades do detector e da fonte, respectivamente.

Além disso, v é a velocidade do som.

Em todos os casos mencionados no enunciado, a fonte está parada e o detector está em movimento com uma velocidade que vamos chamar de v D , então:

f ' = f   v ± v D v

f ' = f 1 ± v D v

Como fonte e observador estão se afastando, a frequência medida tem que ser menor do que a frequência emitida:

f ' < f

Então o sinal do termo do lado direito deve ser negativo:

f ' = f 1 - v D v

Passo 2

Nosso objetivo aqui é calcular a velocidade v D para que a frequência medida f ' seja igual à frequência do primeiro harmônico, quando a frequência emitida f seja igual à frequência do terceiro harmônico.

Perceba que no tubo aberto, a frequência do harmônico n é dada por:

f n = n v 2 L ,           n = 1 ,   2 ,   3 ,   … .

E no tubo fechado temos:

f n = n v 4 L ,           n = 1 ,   3 ,   5 ,   …

Vamos calcular entre a frequência dos harmônicos n = 1 e n = 3 em cada um dos tubos:

t u b o   a b e r t o ⇒       f 1 f 3 = v 2 L   2 L 3 v = 1 3

t u b o   f e c h a d o ⇒       f 1 f 3 = v 4 L   4 L 3 v = 1 3

Ou seja, a razão é a mesma nos dois casos!

Passo 3

Agora vamos voltar à relação que escrevemos a partir da fórmula para o efeito Doppler:

f ' = f 1 - v D v

Como queremos que f ' = f 1 e f = f 3 , podemos substituir para encontrar a seguinte relação:

1 3 = 1 - v D v

v D v = 2 3

v D = 2 3 v

Ou seja, em todos os casos, a velocidade do detector deve ser 2 / 3 da velocidade do som.

Resposta

Em todos os casos devemos ter v D = 2 v / 3 , onde v é a velocidade do som.

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