Enunciado

Especificações militares às vezes requerem que dispositivos eletrônicos seja capazes de suportar acelerações de até 10g ( 10 g = 98.1 m / s 2 ) . Para ter certeza que os produtos de sua empresa alcancem essa especificação, seu gerente falou para você para usar uma “mesa de vibração”, que pode vibrar um dispositivo em frequências e amplitudes controladas e ajustáveis. Se um dispositivo é colocado sobre a mesa e colocado para oscilar com uma amplitude de 1.5 cm, como você deve ajustar a frequência para que possa testar a conformidade com a especificação militar de 10g?

Passo 1

Bom, a questão nos dá uma aceleração máxima especifica que o aparelho precisa suportar para que cumpra com as especificações. Então a gente precisa achar uma expressão que relacione a aceleração máxima com a frequência, já que ele pede a frequência.

Podemos considerar que temos um MHS. E assim a equação geral da posição é válida

x = A cos ⁡ w t + δ

Onde A é a amplitude do movimento, w a frequência angular e δ a fase. Agora vamos lembrar que a derivada da função posição em relação ao tempo é a velocidade e a derivada da velocidade é a aceleração.

Então se a gente derivar duas vezes essa função x t , chegamos na função aceleração e podemos descobrir uma expressão para a aceleração máxima. Vamos derivar, usando a regra da cadeia

v = d x d t = - A w   s e n w t + δ

a = d v d t = - A w 2 cos ⁡ w t + δ

A aceleração máxima em módulo vai ser quando a for máximo em módulo. Isso acontece quando o cosseno é máximo. O maior valor que o cosseno pode atingir é 1 , então vamos substituir c o s 6 π t = 1 a nossa expressão da aceleração e tirar o módulo

a = - A w 2 1

Então temos que a aceleração máxima em módulo de um oscilador harmônico é dada por:

a m a x = A w 2

Passo 2

Vamos então reescrever a frequência angular w em termos da frequência f que é o que o enunciado está pedindo para a gente:

w = 2 π f

E substituindo na equação anterior, ficamos com:

a m a x = A 2 π f 2

Como temos a aceleração máxima, que é 10 g = 98,1   m / s , e temos a amplitude A = 1.5   c m = 0,015 m , já temos tudo que precisamos para obter a frequência, então vamos isolar f :

a m a x = A 2 π f 2

f = a m a x 4 π 2 A = 1 2 π a m a x A

Substituindo os valores dados:

f = 1 2 π 98.1 1.5 * 10 - 2 = 13   H z

Resposta

f = 1 2 π 98.1 m / s 2 1.5 * 10 - 2 m = 13   H z

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