Enunciado

O período de uma partícula oscilando em um movimento harmônico simples é 8.0 s. Em t = 0 , a partícula está em repouso em x = A = 10   c m . (a) esboce x como função de t, (b) encontre a distância percorrida no primeiro, segundo, terceiro e quarto segundo após t = 0 .

Passo 1

Fala aee, tranquilo??

Beleza, o enunciado pede para esboçarmos a equação do movimento que ele descreve. Uma forma de esboçar um gráfico de x em função de t é ter a função que relaciona x com t .

Para um movimento harmônico simples (MHS), que é o movimento que temos no enunciado, a equação que relaciona x com t tem essa cara:

x = A c o s w t + δ

Onde A é a amplitude, que ele já diz ser

A = 10   c m

E w é a frequência angular. Podemos achar ela a partir do período dado no enunciado, pelo seguinte fórmulinha:

w = 2 π T

Ele diz que T = 8   s :

w = 2 π 8 = π 4   s - 1

Vamos substituir A e w na equação geral do MHS:

x = 10   c o s π 4 t + δ

Falta só a gente achar δ , né? Vamos lá!

Passo 2

Cara, falta achar δ , que é a constante de fase. Mas como?

Nós não usamos duas informações.

- ele diz que em t = 0 , a partícula está em x = 10   c m . Vamos substituir isso na equação que a gente tem até agora:

x = 10   c o s π 4 t + δ

10 = 10   c o s 0 + δ

1 = cos ⁡ δ   i

- Em t = 0 , a partícula está em repouso, ou seja, v = 0 . Aqui a gente precisa lembrar que a velocidade é a derivada de x , então podemos achar a expressão de v e substituir essa última informação

x = 10   c o s π 4 t + δ

Derivando lembrando da regra da cadeia

v = d x d t = d 10   c o s π 4 t + δ d t = 10 π 4 - s e n π 4 t + δ

Substituindo v = 0 e t = 0 :

0 = - 10 π 4 s e n 0 + δ

0 = s e n δ   i i

Um ângulo que satisfaz i , ou seja, tem cosseno igual a 1, e satisfaz i i , ou seja, tem seno igual a zero, é

δ = 0

Passo 3

Nossa equação fica

x = 10   c o s π 4 t + δ

x = 10   c o s π 4 t + 0

x = 10   c o s π 4 t

Esboçando essa belezinha, lembrando que t é tempo, então só teremos gráfico em t ≥ 0 :

Obs: uma outra forma de construir esse gráfico bonitão é fazer um gráfico com esse formato de ondas, que sai de t = 0 em x = 10   c m , sendo que esse vai ser um pico porque o enunciado deixa claro que essa é amplitude.

E que tenha um período de 8 s como ele fala. Como assim? A distância entre dois picos consecutivos das ondinhas desenhadas precisa ser de 8 s . Aí chega nesse mesmo resultado, ok?

Passo 4

E na letra b, precisamos calcular a distância percorrida pela partícula dentro do primeiro segundo, ou seja, entre t i = 0 e t f = 1 s , depois dentro do segundo segundo, ou seja, entre t i = 1 s e t f = 2 s , e seguindo esse raciocínio, dentro do terceiro e quarto segundo.

Vamos calcular fazendo

Δ x = x f - x i

O módulo é porque queremos a distância percorrida e não deslocamento, tudo bem?

Substituindo nossa equação

∆ x = 10 c o s π 4 t f - 10   c o s π 4 t i

E substituindo cada valor dado:

∆ x 1 = 10 c o s π 4 1.0 - 10 c o s π 4 0 = 2.9   c m

∆ x 2 = 10 c o s π 4 2.0 - 10 c o s π 4 1.0 = 7.1   c m

∆ x 3 = 10 c o s π 4 3.0 - 10 c o s π 4 2.0 = 7.1   c m

∆ x 4 = 10 c o s π 4 4.0   - 10 c o s π 4 3.0 = 2.9   c m

Prontinho!! Só isso.

Resposta

(a)

(b) 2.9   c m ; 7.1   c m ; 7.1   c m ; 2.9   c m .

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Verdadeiro ou falso: Num Oscilador Harmônico Simples, o período é proporcional ao quadrado da amplitude;Num Oscilador Harmônico Simples, a frequência não depende da amplitude;Se a força resultante num