Enunciado

Uma espira quadrada de lado a conduz uma corrente i . Mostre que o módulo do campo magnético em um ponto de uma reta perpendicular ao plano da espira, passando pelo centro da espira é dado por

B x = 4 μ o i a 2 π 4 x 2 + a 2 4 x 2 + 2 a 2 1 2

Em que a x é a distância entre o ponto e o centro da espira. Mostre que este resultado é compatível com o resultado do problema 89.

Passo 1

Como estamos interessados em calcular o campo em portos P cuja posição é especificada por uma coordenada x , situados em uma reta perpendicular ao plano da espira, vamos supor que a espira quadrada está no plano y z , com o centro na origem. De acordo com o teroema de pitágora, como a origem está a uma distância a / 2 dos lados da espira, a distância do ponto P aos lados do quadrado é:

x 2 + a 2 2 = x 2 + a 2 4

O campo a uma distância R do ponto médio de um segmento de fio de comprimento L é dado por:

B = μ o i 2 π R ⋅ L ( L 2 + 4 R ² )    

Como, neste problema, o ponto P está a uma distância x 2 + a 2 4 de quatro segmentos de fio de comprimento a , temos, para cada fio,

B ' = μ o i π ⋅ a 4 x 2 + a 2 ⋅ 4 x 2 + 2 a 2

Passo 2

Por simetria, é fácil mostrar que apenas as componentes x dos componentes dos campos produzidos pelos quatro segmentos contribuem para o campo total (as componentes y e z se cancelam aos pares). De acordo com o teorema de Pitágoras, o valor da componente x é:

B x ' = a 2 x 2 + a 2 4 = a 4 x 2 + a 2 B '

O cmapo criado pelos quatro segmentos é, portanto:

B x = 4 B ' = 4 μ o i π ⋅ a 4 x 2 + a 2 ˙ 4 x 2 + 2 a 2 ⋅ a 4 x 2 + a 2 = μ o i π ⋅ 4 a 2 4 x 2 + a 2 4 x 2 + 2 a 2 1 2 ,

Que é a expressão pedida.

Para x = 0 , a expressão anterior nos dá:

B 0 = μ o i π ⋅ 4 a 2 a 2 2 a 2 = 2 2 μ o i π a ,

que é a expressão obtida no problema 29-89.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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