Enunciado

Uma esquiadora parte com velocidade inicial desprezível do topo de uma esfera de neve com raio muito grande e sem atrito, desloca-se diretamente para baixo (Figura 7.38). Em que ponto

ela perde o contato com a esfera e voa seguindo a direção da tangente? Ou seja, no momento em que ela perde o contato com a esfera, qual é o ângulo a entre a vertical e a linha que liga a

esquiadora ao centro da esfera de neve?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão vamos ter passar por vários conceitos físicos. Vamos com calma que está tudo descrito aqui embaixo.

O enunciado da questão é bem claro sobre o que acontece, aqui a esquiadora vai realizando um movimento circular na esfera e em determinado momento ela sai pela tangente, perde o contato com a esfera. A gente quer saber qual o ângulo formado entre o ponto inicial do movimento, e o ponto onde ela perde o contato.

Passo 2

Primeiro vamos aplicar ∑ F = m a   para a esquiadora.

Repara que precisamos encontrar o ângulo α onde a força normal se torna zero, em termos da velocidade v 2 neste ponto.

Em seguida, vamos aplicar o teorema da energia de trabalho ao movimento do esquiador para obter outra equação que relacione v 2 e α . Resolvendo essas duas equações para o ângulo α .

Vamos esboçar uma figura para essa situação do esquiador, temos que:

Seja o ponto 2 onde o esquiador perde contato com a bola de neve, como no esboço.

Sabemos que: perder contato implica n   → 0 .

Também, temos que:

y 1 = R e y 2 = R cos ⁡ α

Passo 3

Primeiro, vamos analisar as forças no esquiador quando ele estiver no ponto 2. O diagrama de corpo livre fica da seguinte forma:

Para este usa coordenadas que estão nas direções tangencial e radial. O esquiador se move em um círculo, então sua aceleração é

a r a d = v 2 / R

Sempre direcionada para o centro da bola de neve.

Passo 4

Agora, usando a conservação de energia para obter outra equação relacionada v 2 a α :

K 1 + U 1 + W o u t r a s = K 2 + U 2

K energia cinética

U energia potencial gravitacional

W trabalho realizado por outras forças

A única força que funciona no esquiador é a gravidade, então W o u t r a s = 0

Além disso, a velocidade inicial é desprezível, ou seja, K 1 = 0 .

A energia potencial pode ser calculada por:

U 1 = m g y 1 = m g R

U 2 = m g y 2 = m g R cos ⁡ α

Substituindo tudo na lei de conservação da energia:

m g R = 1 2 m v 2 2 + m g R cos ⁡ α

Implica que:

v 2 2 = 2 g R ( 1 - cos ⁡ α )

Passo 5

Vamos combinar esta última equação do passo 3 com ∑ F y = m a y :

R g cos ⁡ α = 2 g R ( 1 - cos ⁡ α )

O que implica que:

cos ⁡ α = 2 - 2 cos ⁡ α

Então,

3 cos ⁡ α = 2

Assim,

cos ⁡ α = 2 3

E por fim,

α = 48,2 °

Ela acelera e seu raio aumenta à medida que perde energia potencial gravitacional. Ela perde contato quando ela está indo tão rápido que o componente radialmente interno de seu peso não é grande o suficiente para mantê-la no Caminho circular. Observe que α onde ela perde contato não depende de sua massa ou do raio da bola de neve.

Resposta

α = 48,2 °

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