Enunciado

Uma estrada na direção leste passa por uma pequena colina. Você dirige um carro com massa m a uma velocidade constante v sobre o topo da colina, onde a forma da rodovia é bem próxima do arco de um círculo com raio R . Foram colocados sensores na superfície da estrada para medir a força para baixo que os carros exercem sobre a superfície em diversas velocidades. A tabela mostra os valores dessa força versus a velocidade do seu carro:

Trate o carro como uma partícula. (a) Represente os valores graficamente de modo que se ajustem a uma linha reta. Você pode ter de elevar a velocidade, a força ou ambos à mesma potência. (b) Use o gráfico do item (a) para calcular m e R . (c) Que velocidade máxima o carro poderá ter no topo da colina e ainda não perder contanto com o solo?

Passo 1

Fala pessoal, esse é um problema bem legal em que vamos fazer um ajuste gráfico de um conjunto de dados!

O primeiro passo em qualquer problema desse tipo é entender o que realmente está acontecendo e obter um modelo. Considerando que o carro está no topo da pista, a fora peso aponta para baixo (dentro da trajetória circular) e a força normal para cima (fora da trajetória circular), de modo que

P - N = m a c p

Como a c p = v 2 / R , segue que

m g - N = m v 2 R

Isolando N :

N = m g - m R v 2

Com isso, devemos fazer o gráfico de y = N em função de x = v 2 , de modo que

y = A - B x ,               A = m g           e         B = m R

Passo 2

A seguir escrevo a tabela com y = N e x = v 2 :

Fazendo um plot desses pontos, encontramos

Isso resolve o item (a)! Observe que os dados se alinham bem, concordando com o modelo!

Passo 3

O próximo passo é encontrar os valores de A e B . Para isso, escolhemos dois pontos da reta:

x ,   y = 36 ,   8100               e           x ,   y = 256 ,   4200

Eu escolhi os dois pontos mais extremos para ter uma boa representação da reta. O ideal seria fazer um ajusta via método dos mínimos quadrados usando um software, mas para os propósitos dessa questão vamos usar esse método mais rudimentar...

Substituindo na equação y = A - B x :

A - 36 B = 8100 A - 256 B = 4200

Resolvendo esse sistema você acha:

A = 8738   N                 e                 B = 17,7   N s 2 / m 2

Com isso, temos

N = 8738 - 17,7   v 2

Como A = m g , segue que

m = A g = 8738 9,8 → m = 892   k g

Da mesma forma,

B = m R → R = 892 17,7 → R = 50,4   m

Passo 4

A velocidade máxima ocorre para N = 0 , de modo que

0 = A - B v 2 → v m a x = A B = R g

Portanto,

v m a x = 50,4 ⋅ 9,8

Assim,

v m a x = 22,2   m / s

Resposta

m = 892   k g

R = 50,4   m

v m a x = 22,2   m / s

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