Enunciado

65. Uma mola leve tem comprimento não distendido de 15,5   c m . Ela é descrita pela lei de Hooke com constante elástica de 4,30   N / m . Uma extremidade da mola é mantida sobre um eixo vertical fixo e a outra extremidade é presa a um disco de massa   m que pode se mover sem atrito sobre uma superfície horizontal. O disco é colocado em movimento em um círculo com período de 1,30   s .

  1. Encontre a distensão da mola x uma vez que ela depende de m .
  2. Avalie x para

  3. m   =   0,070   0   k g ,
  4. m   =   0,140   k g ,
  5. m   =   0,180   k g e
  6. m   =   0,190   k g .
  7. Descreva o padrão de variação de x uma vez que ela depende de m .

Passo 1

O enunciado nos diz que o disco irá fará o movimento de um círculo, isto é, já temos uma ideia de que vamos usar a força centrípeta nesse exercício e sabemos que a força centrípeta é dada por:

F c p = m v ² r

Mas se liga só, essa força centrípeta é exatamente a força restauradora da mola já que ela tá “puxando” o disco para o centro fazendo o vetor velocidade mudar de direção, então é correto dizer que:

F c p = F e l       ∴     m v ² r = k x

Agora podemos resolver o nosso exercício baseado na igualdade acima.

Passo 2

a ) O que sabemos sobre esse problema que possa nos ajudar?

Bom, sabemos que quando a mola for presa no disco ela terá uma distensão x que é o queremos calcular e saber disso nos ajuda bastante pois podemos dizer o raio desse círculo é o comprimento da mola não distendida somado a distensão que ela teve, ou seja:

r = d + x

Outra coisa que vai nos ajudar também é lembrar a velocidade angular que é dada por:

v = 2 π r T = 2 π d + x T

Substituindo isso na última igualdade do passo anterior temos que:

m d + x ⋅ 2 π d + x T 2 = k x     ⇒     4 π 2 m d + x T 2 = k x     ⇒     k x - 4 π 2 m x T 2 = 4 π 2 m d T 2     ⇒

⇒ x k - 4 π 2 m T 2 = 4 π 2 m d T 2  

Substituindo os valores que o enunciado nos dar temos que:

x 4,3 - 4 π 2 m 1,3 2 = 4 π 2 0,155 m 1,3 2   ⇒     x 4,3 - 23,36 m = 3,62 m     ∴  

x = 3,62 m 4,3 - 23,36 m

Agora que chegamos na equação de x o passo anterior vamos usá-la apenas substituindo a massa para resolver os próximos itens.

Passo 3

b ) Quando m   =   0,0700   k g temos:

x = 3,62 ( 0,07 ) 4,3 - 23,36 ( 0,07 ) = 0,095 m

Passo 4

c ) Quando m   = 0,140     k g temos:

x = 3,62 ( 0,14 ) 4,3 - 23,36 ( 0,140 ) = 0 , 492 m

Passo 5

d ) Quando m   = 0,180   k g temos:

x = 3,62 ( 0,18 ) 4,3 - 23,36 ( 0,18 ) = 6,845   m

Passo 6

e ) Quando m   = 0,190   k g temos:

x = 3,62 ( 0,19 ) 4,3 - 23,36 ( 0,19 ) = - 4,970   m

Força que estamos indo para a última!

Passo 7

f ) Vimos nos passos anteriores que para alguns valores de m o x varia bastante então podemos tirar algumas informações disso:

Para um x > 0 o denominador e o numerador deverão ser positivos, ou seja:

4,3 - 23,36 m > 0     ⇒     4,3 > 23,36 m     ∴     0,184 > m > 0

(lembrando que m não pode ser negativo)

Para um x < 0 o denominador tem que ser negativo, ou seja:

4,3 - 23,36 m < 0     ⇒     4,3 < 23,36 m     ∴     0,184 < m

Para x = ∞ o denominador tem que ser nulo, ou seja:

4,3 - 23,36 m = 0     ⇒     4,3 = 23,36 m     ∴     0,184 = m

x nunca será nulo pois a m nunca será nulo.

Resposta

a )

x = 3,62 m 4,3 - 23,36 m

b )

x = 0,095 m

c )

x = 0,492 m

d )

x = 6,845   m

e )

x = - 4,970   m

f )

Para x > 0 , 0,184 > m > 0

Para x < 0 , 0,184 < m

Para x = ∞ , 0,184 = m

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