Enunciado

Um estudante de física cansado e sobrecarregado tenta manter um grande livro de física preso com seu braço, como mostra a Figura abaixo. O livro tem uma massa de 3,2   k g . O coeficiente de atrito estático entre o livro e o antebraço do estudante é 0,320 e o coeficiente de atrito estático entre o livro e a camisa do estudante é 0,10 (a) Qual é a força horizontal mínima que o estudante deve aplicar ao livro para evitar que ele caia? (b) Se o estudante só pode exercer uma força de 61   N , qual é a aceleração do livro ao escorregar de sob seu braço? O coeficiente de atrito cinético do braço contra o livro é 0,200 e o da camisa contra o livro é 0,090 .

Passo 1

Item (a)

Nós podemos usar a 2° Lei de Newton para calcular a força mínima horizontal que o aluno terá que realizar para segurar o livro. Abaixo, vemos o diagrama de forças que estão presentes no livro:

Nesse diagrama, F , m i n   é a força mínima que o braço do estudante tem que fazer para segurar o livro e F n é a força normal de contato entre a superfície da camisa do estudante e o livro.

E as forças que estão apontando para cima são as forças de atrito do livro com a camisa e com o braço do estudante, da mesma forma que a força que está apontando para baixo é o peso do livro.

Vamos ver como a gente acha essa força mínima que o estudante deve aplicar no livro!

Passo 2

Assumindo o eixo x e o eixo y que estão no diagrama, como o livro está em equilíbrio (paradinho), temos a x = 0 e a y = 0 . Por isso, pela segunda lei de Newton vale que:

∑ F x = m a x → ∑ F x = 0

∑ F x = F n - F m i n = 0

F n - F m i n = 0

Através dessa equação, vemos que F n = F m i n .

Agora para o eixo y , lembrando que a y = 0 ,   a segunda lei de Newton fica:

∑ F x = m a y → ∑ F y = 0

∑ F y = f a t r i t o . c a m i s a + f a t r i t o . b r a ç o - F g = 0

Como F g = m g

f a t r i t o . c a m i s a + f a t r i t o . b r a ç o = m g     I

Passo 3

Agora vamos parar para pensar. Qual é a expressão de f a t r i t o . c a m i s a e f a t r i t o . b r a ç o ?

Se a gente quer a força mínima F m í n do estudante para segurar o livro, essas forças de atrito devem ser máximas. E como o livro está parado, temos atrito estático máximo.

E qual é a expressão dele? É essa aqui:

f a t r i t o = μ s F n

Onde μ s é o coeficiente de atrito estático entre duas superfícies. O enunciado deu essa informação para o contato entre a camisa do estudante e o livro μ s , 1 = 0,16 , e para o contato entre o antebraço do estudante e livro μ s , 2 = 0,32 .

E a força normal F n é a força normal entre a camisa e o livro, que vimos que é F n = F m í n . Então a expressão dos nossos atritos é:

f a t r i t o = μ s F n

f a t r i t o . c a m i s a = μ s . 1 F m i n

f a t r i t o . b r a ç o = μ s . 2 F m i n

Passo 4

Substituindo essas duas coisas em I :

f a t r i t o . c a m i s a + f a t r i t o . b r a ç o = m g  

μ s . 1 F m i n + μ s . 2 F m i n = m g  

Isolando quem a gente quer

F m i n = m g μ s , 1 + μ s , 2

Substituindo pelos valores numéricos que já temos:

F m i n = 3,2   k g 9,81 m s 2 0,16 + 0,32 = 65   N

Passo 5

Item (b) O diagrama de forças é o mesmo da letra anterior, mas agora as forças não vão se cancelar no eixo y, porque há uma aceleração a y diferente de zero.

Então precisamos aplicar a segunda lei de Newton para achar a y , que é o que ele pede. Fica assim:

∑ F x = m a y

∑ F y = f a t r i t o . c a m i s a + f a t r i t o . b r a ç o - F g = m a y

Como F g = m g

f a t r i t o . c a m i s a + f a t r i t o . b r a ç o - F g = m a y     I I

Agora há movimento na direção do atrito, então essas forças são de atrito cinético, que é dado pela fórmulinha:

f a t r i t o = μ k F n

Onde μ k é o coeficiente de atrito cinético, e enunciado dá ele para as duas superfícies em contato com o livro.

De acordo com a 2° Lei de Newton, como o livro não desloca para os lados, apenas para baixo, sabemos que as forças horizontais são iguais e chamaremos elas de F n = F = 61   N , já que F é a força na horizontal aplicada pelo estudante.

Então a expressão dos nossos atritos é:

f a t r i t o = μ s F n

f a t r i t o . c a m i s a = μ k . 1 F

f a t r i t o . b r a ç o = μ k . 2 F

Passo 6

Substituindo essas duas coisas em I I :

f a t r i t o . c a m i s a + f a t r i t o . b r a ç o - F g = m a y

μ k . 1 F + μ k . 2 F - F g = m a y

Sendo a y a aceleração com que o livro cai, então:

a y = μ k , 1 F + μ k , 2 F m - g

Substituindo pelos valores numéricos que já possuímos:

a y = 0,09 + 0,2 3,2 k g 61   N - 9,81

a y = - 4,3   m / s 2

O sinal de negativo indica que a aceleração é contrária ao eixo y, isto é, para baixo.

Resposta

a   F m i n = 65   N

( b )   a y = - 4,3   m / s 2 , para baixo.

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