Enunciado

Experiência da gota de óleo de Millikan. A carga do elétron foi determinada pelo físico americano Robert Millikan, entre 1909 e 1913. Em sua experiência, o óleo era pulverizado e formavam-se minúsculas gotas de óleo (com diâmetros de ordem de 10 - 4 m m ) no espaço entre duas placas paralelas horizontais, separadas por uma distância d. Uma diferença de potencial V A B é mantida entre as placas, criando entre elas um campo elétrico orientado de cima para baixo. Devido ao atrito ou à ionização do ar por raios X ou radioatividade, algumas gotas adquirem cargas negativas. As gotas são observadas com um microscópio. (a) Mostre que uma gota de óleo de raio r em repouso entre as placas deverá permanecer em repouso quando o módulo de sua carga for dado por

q = 4 π 3 ρ r 3 g d V A B

em que ρ é a densidade do óleo. (Despreze a força de empuxo do ar). Ajustando o valor de V A B a fim de manter a gota em repouso, podemos calcular a carga da gota, desde que seu raio seja conhecido. (b) As gotas da experiência de Millikan eram muito pequenas e seus raios não podiam ser medidos diretamente. Em vez disso, Millikan determinou r desligando o campo elétrico e medindo a velocidade terminal v t da gota à medida que elas caíam. ( Discutimos o conceito de velocidade terminal na seção 5.3). A força viscosa F sobre uma esfera de raio r que se desloca com velocidade v em um fluido η é dada pela lei de Stokes, Equação (14.27), F = 6 π η r v . Quando a gota atinge velocidade v t , a força viscosa deve ser igual ao peso p = m g da gota. Mostre que o módulo da carga da gota é dado por

q = 18 π d V A B η 3 v t 3 2 ρ g

Dentro dos limites dos erros experimentais, as cargas de todas as milhares de gotas de Millikan e seus colaboradores mediram eram iguais a um pequeno múltiplo inteiro de uma carga fundamental e , ou seja, eles obtiveram valores iguais a ± 2 e , ± 5 e   e assim por diante, porém não encontraram valores tais como 0,76 e ou 2,49 e . Uma gota com carga - e adquiriu um elétron extra; com uma carga - 2 e ela adquiriu dois elétrons, e assim por diante. (c) Verifica-se que uma gota de óleo carregada em um dispositivo de Millikan cai 1,0 mm com velocidade constante de 39,3 s, quando V A B = 0 . A mesma gota pode ser mantida em repouso entre duas placas separadas por 1,0 mm, quando V A B = 9,16   V . Quantos elétrons em excesso a gota possui e qual é seu raio? A viscosidade do ar é 1,81 × 10 - 5 N . s / m 2 e a densidade do óleo é igual a 824   k g / m 3 .

Passo 1

letra a)

Quando a gota de óleo está em repouso, a força para cima, dada pela força elétrica F e = q E ,   referente ao campo elétrico, é equivalente a força para baixo dado pelo peso da gota. Quando a gota está caindo até atingir sua velocidade terminal, teremos a ação da nossa conhecida força viscosa (sentido para cima) igual a força peso da gota.

Passo 2

Sabendo mais sobre o experimento, podemos agora traduzir o que foi escrito nas expressões que conhecemos! Vamos identificar o volume da gota que é dado por:

V = 4 3 π r 3

Também podemos reescrever algumas expressões conhecidas, para chegar onde o problema deseja. Reescrevendo a força peso, podemos chegar na seguinte expressão:

F g = m g = 4 π r 3 3 ρ g

F e = q E = q V A B / d , já que, E = V A B / d

Passo 3

Igualando a F e = F g , fornecerá a seguinte expressão:

4 π r 3 3 ρ g = q V A B / d

Passo 4

Agora é só isolar o q , passando tudo que está a sua direita dividindo, multiplicando para o outro lado, e tudo que está multiplicando dividindo. Assim teremos:

q = 4 π 3 ρ r 3 g d V A B  

Passo 5

letra b)

Para fazer a letra b, devemos igualar a força dada pelo empuxo da gota, com a força de arrasto ou Força de viscosidade F dada pela lei de Stokes. Essa força surge devido ao desligamento do Campo elétrico, assim a gota em certo momento adquire um estado de repouso, e a velocidade no instante um pouco antes do estado de repouso é dado por uma velocidade terminal v t .

Passo 6

Vamos equacionar o que foi escrito no passo 5. A força de empuxo é dada por:

F = 4 π r 3 3 ρ g

Com essa equação podemos igualar a força de viscosidade dada pela Lei de Stokes para uma esfera. A lei de Stokes é dada por:

F = 6 π η r v t

Igualando os dois F e isolando o termo dado em r , podemos achá-lo! Assim:

4 π r 3 3 ρ g = 6 π η r v t

e com isso podemos obter o valor de r :

r = 9 η v t 2 ρ g

Passo 7

Usando o valor de r para substituir na parte da letra (a), podemos chegar no valor final para q . Bem, agora é só substituirmos e fazer a álgebra. Ficaremos com:

q = 4 π 3 ρ g d V A B 9 η v t 2 ρ g 3  

Com isso obteremos o resultado, que será dado por:

q = 18 π d V A B η 3 v t 3 2 ρ g  

Passo 8

Na letra c tudo que ele quer são os valores numéricos dados pelos seguintes valores:

V A B f = 9,16   V

V A B i = 0   V

η = 1,81 × 10 - 5 N . s / m 2 → V i s c o s i d a d e   d o   A r

ρ = 824   k g / m 3 → D e n s i d a d e   d e   ó l e o  

d = 1 m m → D i s t â n c i a .   para S . I .   d = 1 . 10 - 3 m → S . I .  

Assim com esses valores e as equações nos passos anteriores podemos achar os elétrons em excesso, dado pela carga q e r . Assim, vamos calcular primeiro o q :

q = 18 π d V A B η 3 v t 3 2 ρ g  

Pondo os valores, o resultado será:

q = 18 π 10 - 3 m 9,16 V ( 1.81 × 10 - 5 N . s / m 2 ) 3 1.00 × 10 - 3 m / 39.3 s 3 2 824 k g / m 3 9.80 m / s 2  

q = 4,80 × 10 - 19 C  

Como a carga do e = 1,6 × 10 - 19 C podemos reescrever q como:

q = 3 e

Assim a gota obtém um excesso de 3 e (elétrons).

Passo 9

O raio pode ser obtido também pela expressão dos passos anteriores, assim:

r = 9 η v t 2 ρ g

r = 9 1,81 × 10 - 5 N . s / m 2 1,00 × 10 - 3 m / 39.3 s 2 824 k g / m 3 9,80 m / s 2

Assim o valor de r será:

r = 5,07 × 10 - 7 m = 0,507 μ m .

Resposta

letra a) q = 4 π 3 ρ r 3 g d V A B  

letra b) q = 18 π d V A B η 3 v t 3 2 ρ g  

letra c) q = 3 e

r = 5,07 × 10 - 7 m = 0,507 μ m .

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