Enunciado

Extensão de escala é o comprimento da parte de uma corda de violão que pode vibrar livremente. Um valor padrão da extensão de escala é 25,5 polegadas. A frequência da onda estacionária fundamental em uma corda é determinada pela extensão de escala da corda, tensão e densidade linear. Na tabela a seguir mostramos a frequência padrão f de cada uma das cordas afinadas de um violão de seis cordas:

Suponha que um valor típico da tensão de uma corda de violão seja 78,0 N (embora a tensão varie um pouco para diferentes cordas). (a) Calcule a densidade linear µ (em g/cm) para as cordas E2, G3 e E4. (b) Quando sua banda já está pronta para entrar no palco, sua corda G3 se parte. A única corda substituta que você tem é uma E2. Se as suas cordas possuem as densidades lineares calculadas no item (a), qual deverá ser a tensão na corda substituta para levar sua frequência fundamental ao valor da corda G3, ou seja, 196,0 Hz?

Passo 1

Fala galera, bora lá!

Neste exercício, utilizaremos nosso conhecimento sobre ondas estacionárias em conjunto com os dados fornecidos pelo problema, em particular precisaremos da equação da frequência fundamental e da equação da velocidade de propagação, respectivamente:

f = V 2 L     e       v = T μ

Passo 2

A extensão de escala fornecida no enunciado nos permite calcular a velocidade de propagação para cada corda se utilizarmos a equação da frequência fundamental com as frequências da tabela e a extensão de escala como comprimento, temos então, para cada corda, sabendo que

25,5   i n = 0,66   m

v E 2 = 82,4 0,66 = 108,76

v A 2 = 145,2

v D 3 = 193,78

v G 3 = 384,72

v B 3 = 325,9

v E 4 = 435,08

Passo 3

Agora podemos isolar a densidade linear na equação da velocidade e substituir a velocidade que obtivemos e o valor típico da tensão que foi dado para encontrar a densidade linear das cordas pedidas.

μ = T v 2

Portanto, as densidades lineares são

μ E 2 = 78 108,76 2 = 0,06   g / c m

μ G 3 = 78 384,72 2 = 5,27 × 10 - 4   g / c m

μ E 4 = 78 435,08 2 = 4,12 × 10 - 4   g / c m

Passo 4

(b) Vamos calcular qual deve ser a tensão na corda E2 para que ela atinja a mesma frequência que a corda G3. Primeiramente vamos calcular qual deve ser a velocidade de propagação da onda na corda para que essa frequência seja atingida:

f = v 2 L   →   v = 2 f L

v = 2 196 0,66 = 258,72

Passo 5

Vamos substituir esta velocidade e a densidade linear em kg/m na equação da velocidade de propagação e então isolar a tensão:

T = μ v 2 = 0,0068 258,72 2

T = 455,16   N

Resposta

Portanto, as densidades lineares são

μ E 2 = 78 108,76 2 = 0,06   g / c m

μ G 3 = 78 384,72 2 = 5,27 × 10 - 4   g / c m

μ E 4 = 78 435,08 2 = 4,12 × 10 - 4   g / c m

Portanto, a tensão necessária para que a corda E2 tenha a mesma frequência que a corda G3 é

T = 455,16   N

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