Enunciado

Em seu laboratório de física, um oscilador é preso à extremidade de uma corda horizontal. A outra extremidade da corda passa por uma polia sem atrito. Você suspende uma massa M pela extremidade livre da corda, produzindo a tensão Mg na corda. O oscilador produz ondas transversais de frequência f sobre a corda. Você não varia essa frequência durante o experimento, mas testa as cordas com três densidades lineares µ diferentes. Você também mantém uma distância fixa entre a extremidade da corda onde o oscilador está preso e o ponto onde ela está em contato com a borda da polia. Para produzir ondas estacionárias na corda, você varia M; então, você mede a distância d de um nó para outro para cada padrão de onda estacionária e obtém os seguintes dados:

(a) Explique por que você obtém apenas certos valores de d. (b) Represente graficamente µd2 (em kgm) em função de M (em kg). Explique por que os dados desenhados dessa forma devem ficar próximos a uma linha reta. (c) Use a inclinação do melhor ajuste dos dados à linha reta para determinar a frequência f das ondas produzidas na corda pelo oscilador. Considere g = 9,80 m/s2. (d) Para a corda A (µ,= 0,0260 g/cm), que valor de M ( em gramas) seria necessário para produzir uma onda estacionária com uma distância de 24,0 cm de um nó a outro? Use o valor de f calculado no item (c).

Passo 1

Fala galera, bora lá!

(a) Para a resolução desta questão será utilizado o aspecto relativo à distância entre dois nós consecutivos de uma onda estacionária, no qual prediz que tal distância é equivalente a meio comprimento de onda:

d = λ 2

d : distância entre dois nós concecutivos

λ : comprimento de onda

Passo 2

A distância d foi medida para cada situação de contorno do experimento, ou seja, para determinados valores de densidades lineares ( μ ) da corda e de massa ( m ) fixada na mesma.

Sabe-se que o comprimento de uma onda estacionária ( λ ) relaciona-se com a velocidade da onda e a frequência de propagação a partir da seguinte formulação:

λ = v f

v : velocidade

λ : comprimento de onda

f : frequência

Passo 3

Sabe-se também que a velocidade de propagação de uma onda estacionária em uma corda é determinada pela seguinte expressão:

v = T μ

v : velocidade

T : tensão

μ : densidade linear

Por sua vez, a tensão produzida na corda pela massa ( m ) equivale ao peso do objeto fixado na mesma:

T = m g

m : massa

g : aceleração da gravidade ( 9,8 1   m / s 2 )

Passo 4

Assim, substituindo-se os termos relativos a tensão ( T ), a velocidade de propagação ( v ) e ao comprimento de onda ( λ ) na equação que fornece a distância ( d ) entre os dois nós consecutivos, obtêm-se a seguinte formulação:

d = λ 2 = v 2 f

d = m g μ 2 f = 1 2 f m g μ

Logo, apesar da frequência se manter constante durante o experimento, percebe-se que a distância ( d ) entre os dois nós é diretamente proporcional a massa ( m ) do objeto fixado na corda e inversamente proporcional a densidade linear ( μ ) da corda.

Passo 5

Portanto, certos valores de d foram assim obtidos devido à influência da massa ( m ) do objeto e da densidade linear ( μ ) da corda, características estas que foram alteradas no experimento.

Passo 6

(b) Para a resolução desta questão será plotada curva referente aos pontos formados pelos dados do experimento e utilizado o conceito de função linear para caracteriza-la.

Abaixo segue a imagem com a plotagem do gráfico dos dados, bem como a tabela com os valores utilizados:

Passo 7

A curva deve se aproximar de uma reta devido à natureza da equação gerada a partir do produto entre a densidade linear ( μ ) da corda e o quadrado da distância d que corresponde a:

μ d 2 = μ 1 2 f m g μ 2

d 2 = m g 4 f 2

Considerando que m refere-se à variável pertencente aos eixos das abcissas do gráfico, a equação resultante representa uma função linear de 1º grau, caracterizando uma reta.

Portanto, a curva da função resultante plotada no gráfico aproxima-se de uma reta devido à natureza de sua equação que corresponde a uma função linear de 1º grau.

Passo 8

(c) Para a resolução desta questão será utilizado o preceito de que a derivada de uma função qualquer corresponde numericamente à tangente do ângulo de inclinação da reta tangente à curva desta função.

Como a função avaliada refere-se a uma reta, a reta tangente à curva desta função coincide com a mesma.

Passo 9

Sabe-se que a tangente do ângulo de inclinação de uma reta qualquer pode ser determinada conhecendo-se dois pontos pertencentes a tal reta a partir da expressão abaixo:

x 1 ; y 1

x 2 ; y 2

tan ⁡ θ = y 2 - y 1 x 2 - x 1

Passo 10

Para um melhor ajuste dos valores, considerou-se uma reta interligando o primeiro ponto da curva ( 0,207 ;   2,19 × 10 - 4 ) ao último ponto da curva ( 0,559 ;   6,02 × 10 - 4 ) . Logo, a tangente do ângulo de inclinação da reta corresponde a:

0,207 ;   2,19 × 10 - 4

0,559 ;   6,02 × 10 - 4

tan ⁡ θ = 6,02 × 10 - 4 - 2,19 × 10 - 4 0,559 - 0,207

tan ⁡ θ = 1,09 × 10 - 3

A derivada da função correspondente a reta - cuja equação foi previamente determinada no item (b) - corresponde a:

f m = m g 4 f 2

f ' m = g 4 f 2

Passo 11

Como a derivada da função é numericamente igual à tangente do ângulo de inclinação, pode-se determinar o valor da frequência a partir das seguintes operações abaixo:

f ' m = tan ⁡ θ

g 4 f 2 = 1,09 × 10 - 3

Portanto, a frequência das ondas produzidas na corda corresponde a:

f = 9,8 4 1,09 × 10 - 3 = 47,48   H z

Passo 12

(d) Para a resolução desta questão será utilizada a equação para a determinação do valor da distância d referente aos nós das ondas produzidas, equação esta previamente determinada no passo 4 e correspondente a:

d = 1 2 f m g μ

Conhecendo-se os valores relativos a frequência, densidade linear e distância entre nós, pode- se determinar o valor da massa:

m = 2 d f 2 μ g = 2 0,24 47,5 2 0,0026 9,81

Portanto, o valor correspondente à massa necessário para que a distância entre os nós das ondas produzidas seja equivalente a 24 cm corresponde a:

m = 0,138   k g

Resposta

  1. Portanto, certos valores de d foram assim obtidos devido à influência da massa ( m ) do objeto e da densidade linear ( μ ) da corda, características estas que foram alteradas no experimento.
  2. Resolvido no passo 6.
  3. f = 47,48   H z
  4. m = 0,138   k g

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