Enunciado

Um feixe de luz que contém todos os comprimentos de onda entre 460,0   n m e 640,0   n m incide perpendicularmente em uma rede de difração com 160   r a n h u r a s / m m . (a) Qual é a menor ordem que se superpõe a outra ordem? (b) Qual é a maior ordem para a qual todos os comprimentos de onda do feixe original estão presentes? Nessa ordem, determine para que ângulo é observada a luz (c) de 460,0   n m e (d) de 640,0   n m . (e) Qual é o maior ângulo para o qual a luz de 460,0   n m aparece?

Passo 1

A fórmula que dá a posição dos máximos produzidos por uma rede de difração é:

d sen ⁡ θ = m λ

Nós quremos saber qual é a menor ordem que se sobrepõe a outra. Ou seja, queremos em encontrar dois valores diferentes de m que produzem o mesmo valor de θ (ou pelo menos valores próximos).

Então não tem outro jeito: temos que ir calculando θ para vários valores de m e λ até que uma superposição apareça.

Passo 2

(a) Primeiro calculamos a distância d entre as ranhuras. Já que temos 160 ranhuras a cada milimetro, a distância (em metros) é:

d = 10 - 3 160 = 6,25   .   10 - 6   m

E então, para m = 2 e λ = 460   n m , temos o seguinte:

sen ⁡ θ = m λ d = 2 460.10 - 9 6,25.10 - 6

θ = 8,46 °

E agora se continuarmos com isso para outros valores (e analisando os dois extremos da faixa de comprimentos de onda), vamos encontrar os seguintes dados:

Com isso, vemos que a menor ordem que se superpõe a outra é a terceira ( m = 3 , λ = 640   n m ), que se superpõe à quarta ( m = 4 ,   λ = 17,12 ° ).

Passo 3

(b) Agora queremos saber qual é a maior ordem que “inclui” todos os comprimentos de onda presentes?

Vamos dar uma olhada na fórmula para as posições dos máximos:

d sen ⁡ θ = m λ

Como sen ⁡ θ ≤ 1 , podemos escrever o seguinte:

sen ⁡ θ = m λ d ≤ 1

m ≤ d λ

Isso quer dizer que quanto maior for λ , mais limitado estará o nosso m . No caso em que λ = 640,0   n m (o maior valor presente no feixe):

m ≤ 6,25.10 - 6 640.10 - 9 = 9,77

Ou seja, a maior ordem para a qual todos os comprimentos de onda estão presentes é m = 9 .

Passo 4

(c) Agora vamos calcular a posição angular dessa mesma ordem m = 9 para o comprimento de onda λ = 460,0   m n :

sen ⁡ θ = m λ d = 9 460.10 - 9 6,25.10 - 6

θ = 41,5 °

Passo 5

(d) E temos que fazer a mesma coisa para λ = 640   n m :

sen ⁡ θ = m λ d = 9 640 . 10 - 9 6,25.10 - 6

θ = 67,2 °

Passo 6

(e) Queremos saber qual é o maior valor que θ assume para o comprimento de onda λ = 460   n m .

Vamos lembrar da condição que escrevemos lá em cima usando o fato de que sen ⁡ θ ≤ 1 :

m ≤ d λ

m ≤ 6,25.10 - 6 460 . 10 - 9 = 13,59

Isso quer dizer que podemos ter, no máximo m = 13 . Qual é o valor de θ nesse caso?

sen ⁡ θ = m λ d = 13 460.10 - 9 6,25.10 - 6

θ = 73,1 °

Resposta

(a) A menor ordem que se superpõe a outra é a terceira ( m = 3 ).

(b) A maior ordem para a qual todos os comprimentos de onda do feixe original estão presentes é m = 9 .

(c) θ = 41,5 ° .

(d) θ = 67,2 ° .

(e) O maior ângulo para a qual a luz de 460   n m aparece é 73,1 ° .

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