Enunciado

57. Você pretende usar um microscópio eletrônico para estudar a estrutura de alguns cristais. Para uma resolução acurada, você deseja que o comprimento de onda do elétron seja 1,00   n m . a ) Esses elétrons são relativísticos? Como você sabe disso? b ) Qual é o potencial de aceleração necessário? c ) Qual é a energia cinética dos elétrons que você está usando? Para verificar se a energia é grande a ponto de danificar os cristais que você está estudando,

compare-a com a energia potencial de uma molécula de N a C l , que é cerca de 6,0   e V . d ) Se você decidiu usar ondas eletromagnéticas em seu estudo, que energia os seus fótons devem ter para fornecer a mesma resolução que os elétrons? Essa energia danificaria o cristal?

Passo 1

Para saber se os elétrons são relativísticos, temos que saber se suas velocidades são próximas da velocidade da luz.

Para encontrar essa velocidade vamos usar o comprimento de onda de De Broglie dado por:

λ = h m v

Então basta isolar v e calculá-lo.

Para achar o potencial de aceleração vamos usar a conservação de energia, onde inicialmente só teríamos energia potencial elétrica e depois só energia cinética, assim:

U = K

⇒ q V = 1 2 m v 2

⇒ V = 1 2 m v 2 q

Onde q é a carga do elétron ( 1,60 ⋅ 10 - 19   C ) e m a massa do elétron ( 9,109 ⋅ 10 - 31   k g ) .

Para encontrar a energia cinética pedida em ( c ) podemos usar a observação que fizemos para ( b ) de que:

K = U

⇒ K = q V

Onde para V podemos usar o resultado de ( b ) .

E por último para encontrar a energia do fóton pedida em ( d ) podemos usar a equação que fornece a energia de um fóton dada por:

E = h c λ

Onde para λ teremos o mesmo valor que o comprimento de onda do elétron.

Passo 2

Vamos lá então galera vamos encontrar a velocidade do elétron, temos que:

λ = h m v

Isolando v , temos:

v = h m λ

Substituindo o que sabemos, temos:

v = 6,626 ⋅ 10 - 34 ( 9,109 ⋅ 10 - 31 ) ( 1 ⋅ 10 - 9 )

= 6,626 ⋅ 10 - 34 ( 9,109 ⋅ 10 - 40 )

Então temos que:

v = 7,27 ⋅ 10 5   m / s

Essa velocidade é pequena comparada com a da luz, logo nossos elétrons não são relativísticos.

Passo 3

Agora vamos encontrara o potencial de aceleração pedido em ( b ) , temos o seguinte:

V = 1 2 m v 2 q

Substituindo os valores que sabemos, temos:

V = 1 2 ( 9,109 ⋅ 10 - 31 ) ( 7,27 ⋅ 10 5 ) 2 ( 1,60 ⋅ 10 - 19 )

= 481,44 ⋅ 10 - 21 3,2 ⋅ 10 - 19

Assim:

V = 150,45 ⋅ 10 - 2

= 1,5   V

Passo 4

Agora vamos encontrar a energia cinética pedida em ( c ) , assim:

K = q V

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

K = ( 1,60 ⋅ 10 - 19 ) ( 1,5 )

Então como temos a carga de um elétron vezes uma voltagem, então podemos expressar nosso resultado como elétrons-volts, assim:

K = 1,5   e V

Segundo o enunciado temos que a energia potencial da molécula de N a C l é 6,0   e V , assim a energia cinética do elétron não é suficiente para danificar o cristal de N a C l .

Passo 5

Agora vamos encontrar a energia do fóton e ver se ele danificaria o cristal.

Para facilitar nossa vida vamos tomar o seguinte valor de h .

h = 4,136 ⋅ 10 - 15   e V ⋅ s

Com isso nosso resultado já vem em e V para compararmos com a energia potencial da molécula de N a C l e vê se danificaria o cristal.

Temos:

E = h c λ

Substituindo os valores, temos:

E = ( 4,136 ⋅ 10 - 15 ) ( 3 ⋅ 10 8 ) 1 ⋅ 10 - 9

Assim, temos que:

E = 12,4 08 ⋅ 10 2   e V

= 1240,8   e V

Com uma energia dessas o cristal seria danificado.

Resposta

( a )

v = 7,27 ⋅ 10 5   m / s

Essa velocidade é pequena comparada com a da luz, logo nossos elétrons não são relativísticos.

b

V = 1,5   V

( c )

K = 1,5   e V

Segundo o enunciado temos que a energia potencial da molécula de N a C l é 6,0   e V , assim a energia cinética do elétron não é suficiente para danificar o cristal de N a C l .

( d )

E = 1240,8   e V

Com uma energia dessas o cristal seria danificado.

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