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Na Fig. 11-58, um pequeno bloco de 50   g desliza para baixo em uma superfície curva sem atrito a partir de uma altura h = 20   c m e depois adere a uma barra homogênea de massa 100   g e comprimento 40   c m . A barra gira de um ângulo θ em torno do ponto O antes de parar momentaneamente. Determine θ .

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, primeiro de tudo devemos perceber que antes do impacto a energia mecânica do bloco se conserva. Por isso, vamos aplicar a lei de conservação da energia mecânica para determinar a velocidade com que o bloco alcança a barra:

m g h = 1 2 m v 2

Isolando v obtemos:

v = 2 g h

Sendo assim, a velocidade com que o bloco atinge a barra é dada como:

v = 2 × 9,8 × 0,2

v = 1,98   m/s

Passo 2

A malandragem agora, é que quando o bloco atinge a barra e adere a ela, eles se tornam um conjunto barra-bloco, de modo que o momeno de inércia I   do conjunto vai ser a soma dos momento de inércia de cada em relação ao eixo de rotação:

I = I b a r r a + I b l o c o

Então saca só, o momento de inércia de uma barra cujo o eixo de rotação passa por uma de suas extremidades é:

I b a r r a = 1 3 M L 2

E supondo o bloco sendo uma partícula de massa m , a uma distância L do eixo de rotação, temos que seu momento de inércia será:

I b l o c o = m L 2

Sendo assim, o momento de inércia do sistema barra-bloco será:

I s = 1 3 M L 2 + m L 2

Substituindo os valores:

I s = 1 3 0,1 0,4 2 + 0,05 0,4 2

I s = 13,33 × 10 - 3   kg ⋅ m 2

Passo 3

Durante a colisão, não há torque resultante, por isso, podemos aplicar a lei da conservação do momento angular:

L f = L 0

Nesse caso, o momento angular inicial é dado pela velocidade que apenas o bloco possui em relação ao eixo:

L o = L × m v

Onde L é a distância do bloco até o eixo. Já no momento angular final, temos que:

L f = I ω

Logo:

I s ω = L × m v

Isolando ω e substituindo os valores:

ω = L × m v I

ω = 0,4 × 0,05 × 1,98 13,33 × 10 - 3

ω = 2,97   rad/s

Passo 4

Agora pra gente poder aplicar a lei da conservação da energia mecânica e descobrir que altura a barra chegou, precisamos antes saber onde tá o centro de massa do sistema, logo:

y ' = L 2 M + 0 m M + m

Substituindo os valores, temos:

y ' = 0,4 × 0,1 0,15

y ' = 0,267   m

Passo 5

Aplicando agora a lei da conservação de energia, temos:

K r o t = U g

1 2 I ω 2 = ( M + m ) g H

Onde esse H pode ser determinado a partir de relações trigonométrias, considerando que nosso referencial nula será a posição do centro de massa inicial. Assim:

H = y ' ( 1 - cos ⁡ θ )

Portanto:

1 2 I ω 2 = M + m g   y ' 1 - cos ⁡ θ

Substituindo os valores, temos:

13,33 × 10 - 3 × 2,97 2 2 = 0,15 × 9,8 × 0,267 - 0,15 × 9,8 × 0,267 × cos ⁡ θ

0,059 = 3,92 - 3,92 cos ⁡ θ

Isolando cos ⁡ θ :

cos ⁡ θ = 0,392 - 0,059 0,392

Isolando θ :

θ = cos - 1 ⁡ 0,392 - 0,049 0,392

θ = 31,84 °

Resposta

θ = 31,84 °

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