Responde Aí

Enunciado

Na Fig. 14-35, a água atinge uma altura D   =   35,0   m atrás da face vertical de uma represa com W = 314   m de largura. Determine (a} a força horizontal a que está submetida a represa por causa da pressão manométrica da água e (b) o torque produzido por essa força em relação a uma reta que passa por O e é paralela à face plana da represa. Determine o braço de alavanca desse torque.

Passo 1

Show de bolinhas pessoal tudo certinho com vocês?

Se liga só, nesse exercício aqui, precisamos lembrar que a força produzida por um fluido sobre uma parede vertical de um recipiente que contém esse fluido, é dada pela integral das infinitas forças que variam com y em cada ponto ao longo da altura do líquido.

Uma das formas de calcular a forca exercida pelo fluido sobre a parece vertical indicada na figura é através da soma das componentes de força exercidas pela ação da pressão do líquido nas diversas unidades de área que compõem a superfície da parede, até uma altura de D.

Nesse caso, a força em cada unidade de área é dada por

F y = p ( y ) × d A

Como podemos perceber na Figura, cada unidade de área d A   vale:

d A = W × d y

Logo, as forças exercidas pelo líquido em cada componente de área da parede são expressas assim:

F y = W ρ g y   d y

O somatório das infinitas forças F ( y ) , que fornece o valor da força total exercida pelo fluido sobre a parede, é dado pela integral da expressão acima

F r e s u l t a n t e =   ∫ 0 h W ρ g y   d y

Lembrando que:

∫ y d y = y 2 2

Sendo h a altura do fluido, nesse problema temos h = D :

F r e s u l t a n t e =   ∫ 0 D W ρ g y   d y

Logo:

F r e s u l t a n t e =   W ρ g   y 2 2 0 D

F r e s u l t a n t e = W g × D ² 2

Passo 2

Então, temos que nossa força sobre a parede é dada como:

F r e s u l t a n t e = W ρ g D ² 2

Substituindo os valores dados pelo enunciado:

F = 314   m 1,00 × 10 3   kg/m³ 9,8   m/s² ( 35   m 2 ) 2

F = 1,88 × 10 9   N

Passo 3

(b) Aqui, precisamos lembrar do conceito de Torque. Lembre-se que ele é obtido pelo produto entre o módulo de uma força e o seu “braço de alavanca”, ou seja, a distância perpendicular à força entre sua linha de ação e o ponto considerado.

τ = F ∙ r

Nesse caso, como a força varia com a altura (como já vimos no problema 19), o torque também varia. Cada pequena força de módulo F y = W × ρ × g × y × d y exerce um torque igual a:

τ y = F y × ( D - y )

Onde y é a altura em que estamos, tomando como referência o ponto O.

Passo 4

Iradoso, então simplificando a fórmula do torque:

τ y = F y ( D - y )

τ y = F y D - F y y

E integrando isso de 0 a D :

τ = ∫ 0 D τ ( y ) d y

τ = ∫ 0 D F y D - F y y d y

Separando em duas integrais:

τ = ∫ 0 D D F ( y ) d y - ∫ 0 D F y y d y

τ = D ∫ 0 D F ( y ) d y - ∫ 0 D F y y d y

Segue que:

τ = D W ρ g D 2 2 - ∫ 0 D F y y d y

Substituindo F ( y ) :

τ = ( W ρ g ) D 3 2 - ∫ 0 D ( W ρ g ) y 2 d y

τ = ( W ρ g ) D 3 2 - ( W ρ g ) ∫ 0 D y 2 d y

Resolvendo a integral:

τ = ( W ρ g ) D 3 2 - W ρ g D 3 3

Colocando W ρ g em evidência:

τ = W ρ g 1 2 D 3 - 1 3 D 3

Belezinha, bora lá que ta acabando já hehe

Passo 5

Agora, vamos só simplificar mais um pouquinho:

τ = ρ g W 1 2 D 3 - 1 3 D 3

τ = 1 6 ρ g W D 3

Substituindo os valores dados pelo enunciado:

τ = 1 6 1,00 × 10 3   kg/m³ 9,8   m/s² 314   m ( 35 3 )

τ = 2,2 × 10 10   N.m

Passo 6

Para obtermos o braço de alavanca desse torque, utilizamos o conceito de momento que comentamos na letra (b): T o r q u e = F o r ç a × b r a ç o . Considerando r como igual ao braço pedido, temos:

τ = F × r

Sendo F e τ a força e o torque calculados anteriormente. Logo, vem:

1 6 ρ g W D 3 = ρ g W D 2 2 × r

Isolando r:

r = ρ g W D 3 6 ρ g W D 2 2

r = D 3

Portanto:

r = 35   m 3

r = 11,7   m

Resposta

  1. 1,88 × 10 9   N
  2. 2,2 × 10 10   N.m
  3. 11,7   m
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