Enunciado

Na Fig. 22-59b, uma partícula de carga + Q produz um campo elétrico de módulo E p a r t no ponto P , a uma distância R da partícula. Na Fig 22-59b, a mesma carga está distribuída uniformemente em um arco de circunferência de raio R , que subtende um ângulo θ . A carga do arco produz um capo elétrico de módulo E a r c o no centro da curvatura P . Para que valor de θ temos E a r c o = 0.500 E p a r t . (sugestão: Use uma solução gráfica.)

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😉

Nesse problema precisamos primeiramente achar o valor do campo para o arco de circunferência. Podemos achar esse campo através da equação 22-21 do livro. Onde temos a seguinte relação para o campo elétrico do arco de circunferência:

E a r c o = λ 4 π ε 0 R s e n θ 2 - s e n - θ 2 = 2 λ 4 π ε 0 R s e n θ 2

Em que λ é a densidade linear de carga:

λ = Q R θ

Saca só! 😬

Passo 2

Agora, vamos encontrar o campo elétrico da carga:

E p a r t = Q 4 π ε 0 R 2

Então para descobrir o valor do ângulo, vamos utilizar a informação que E a r c o =   0.500 E p a r t , Ou seja:

2 Q / R θ 4 π ε 0 R s e n θ 2 = 1 2 Q 4 π ε 0 R 2

2 θ s e n θ 2 = 1 2

s e n θ 2 = θ 4

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Para descobrir o valor de θ , vamos fazer uma expansão de Maclaurin para s i n θ 2 e pegar o terceiro termo não nulo, lembrando que a série de Maclaurin é dada por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 x n n !

s i n θ 2   = θ 2 - θ / 2 2 3 ! + θ / 2 5 5 ! = θ 4

Manipulando, temos:

θ 4 - θ / 2 2 3 ! + θ / 2 5 5 ! = 0

Calculando os fatoriais e multiplicando ambos os lados por 4 / θ :

θ 4 950 - θ 2 12 + 1 = 0

Agora, temos uma equação biquadrática. Para resolver ela, usamos que θ 2 = y , assim:

y 2 950 - y 12 + 1 = 0

y = 1 / 12 ± 1 / 12 2 - 4 x 1 / 950 2 / 950

Vamos ficar com o menor número. Pois como a função seno só vai de -1 a 1, não podemos ter valores grande para θ .

y = 1 / 12 - 1 / 12 2 - 4 x 1 / 950 2 / 950 ≈ 14,75

Como, θ = y , finalmente temos:

θ ≈ 3,840 r a d s

Complicado, né? O que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

θ ≈ 3,840 r a d s

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