Enunciado

Na Fig. 23-41 , um pequeno furo circular de raio R   =   1,80   c m foi aberto no meio de uma placa fina, infinita, não condutora, com uma densidade superficial de cargas σ   =   4,50   p C / m 2

. O eixo z , cuja origem está no centro do furo, é perpendicular à placa. Determine, em termos dos vetores unitários, o campo elétrico no ponto P , situado em z   =   2,56   c m . (Sugestão: use a Eq. 22-26 e o princípio de superposição.)

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

A questão nos dá uma dica matadora para resolvermos o problema. Vamos usar o princípio da superposição para estimarmos o campo no ponto P . Como assim? Vou te explicar!

Passo 2

Considere que o campo resultante do sistema Plano infinito perfurado é equivalente à superposição dos campos causados pelos sistemas Plano infinito e Disco de raio R com densidade de carga – σ . Assim:

Fazemos isso simplesmente porque um orifício significa uma ausência de carga. E essa ausência equivale à “soma”, ou superposição, de cargas de módulos iguais e sinais contrários.

Beleza!

Passo 3

Então, agora, vamos achar o campo elétrico devido a cada um desses sistemas que estamos superpondo.

Primeiro, vamos trabalhar com o plano infinito de densidade superficial de carga + σ . Lembra como podemos encontrar o campo resultante da distribuição de cargas num plano assim? Ele é dado pela fórmula:

E p l a n o = σ 2 ϵ 0

Passo 4

Agora, preste atenção no disco idealizado, com densidade superficial de carga igual a – σ . Vamos calcular o campo elétrico resultante desse disco. Para isso, vamos novamente dividir esse disco em pequenos anéis de raio r e calcular primeiro o campo resultante de cada um desses anéis. Fazendo isso a gente tem o seguinte:

Disco de densidade superficial de cargas – σ Um dos anéis que formam o disco quando somados.

Olhando para o anel da figura da direita, vamos somar os campos produzidos por cada uma das unidades de carga d q , que equivalem às cargas de pequenos setores circulares de abertura infinitesimal d α . Cada campo desse setor é equivelente ao campo produzido por uma carga pontual:

d E = K d q ( H 2 + r 2 )  

Mas, nesse caso, a gente só considera a componente vertical desse campo, pois na horizontal as componentes dos campos das outras unidades de carga se cancelam.

Passo 5

Assim, a gente tem que:

d E y = K d q ( H 2 + r 2 ) c o s θ

= K d q ( H 2 + r 2 ) ∙ H H 2 + r 2 1 2

d E y = K ⋅ H ⋅ d q H 2 + r 2 3 2

= K ⋅ H ⋅ ( σ ⋅ r ⋅ d α ⋅ d r ) H 2 + r 2 3 2

Para acharmos a resultante vertical do campo devido a um anel, devemos integrar em α , de zero a 2 π . Assim:

E y ( a n e l ) = 2 π ⋅ K ⋅ H ⋅ ( σ ⋅ r ⋅ d r ) H 2 + r 2 3 2

Passo 6

Agora, para acharmos a soma dos campos devidos aos anéis, que resulta no campo do disco, devemos integrar a expressão acima em r :

E y , d i s c o = ∫ 0 R 2 π ⋅ K ⋅ H ⋅ ( σ ⋅ r ⋅ d r ) H 2 + r 2 3 2

Resolvendo a integral acima , temos:

E y , d i s c o = 2 π ⋅ K ⋅ H ⋅ σ �� - 1 ( H 2 + r 2 ) 1 / 2 | 0 R = 2 π ⋅ K ⋅ H ⋅ σ ⋅ [ 1 H - 1 ( H 2 + R 2 ) 1 / 2 ]

Sendo:

K = 1 4 π ϵ 0

Então:

E y , d i s c o = σ 2 ϵ 0 ⋅ [ 1 - H H 2 + R 2 1 2 ]

Passo 7

Beleza! Agora, é só a gente usar a superposição desses sistemas:

Então:

E y , r e s u l t a n t e = E p l a n o - E d i s c o

E y , r e s u l t a n t e = σ 2 ϵ 0 - σ 2 ϵ 0 ⋅ [ 1 - H H 2 + R 2 1 2 ]

E y , r e s u l t a n t e = σ 2 ϵ 0 H H 2 + R 2 1 2

= 0,208   N / C

Resposta

0,208   N / C

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