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Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 9ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick - Capítulo 23.9 - Ex. 51

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Na Fig. 23-52, uma casca esférica não condutora com um raio interno a   =   2,00   c m   e um raio externo b   =   2,40   c m possui uma densidade volumétrica uniforme de cargas positivas ρ   =   A / r , onde A é uma constante e ré a distância em relação ao centro da casca. Além disso, uma pequena esfera de carga q   =   45,0   f C está situada no centro da casca. Qual deve ser o valor de A para que o campo elétrico no interior da casca ( a ≤ r ≤ b ) seja uniforme?

Passo 1

Pela Lei de Gauss, usando uma superfície gaussiana de raio r , tal que a < r < b , a carga interna é dada pela integral ∫ ρ d V , sendo ρ a densidade de carga por unidade de volume. Assim, sendo q s essa carga, temos:

q s = 4 π ∫ 0 r s ρ r ² d r = 4 π ∫ a r g A r r ² d r = 4 π A ∫ a r g r d r = 2 π A ( r g 2 - a 2 )

Além disso, a carga total da superfície gaussiana é dada por:

q + q s = q + 2 π A r g 2 - a 2

Como o campo elétrico é radial e o fluxo elétrico dado por ϕ = 4 π r g ² E , então:

4 π ϵ 0 E r g 2 = q + 2 π A r g 2 - a 2

Passo 2

Isolando E na expressão anterior, vem:

E = 1 4 π ϵ 0 q r g 2 + 2 π A - 2 π A a 2 r g 2

Agora, o que significa um campo elétrico uniforme?

Significa um campo constante no espaço. Para que a expressão anterior seja constante com r g , então devemos zerar a parcela q r g 2 - 2 π A a 2 r g 2 .

Fazendo isso, encontramos:

A = 1,79 × 10 - 11   C / m ²

Resposta

1,79 × 10 - 11   C / m ²

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