Enunciado

A Fig. 30-45 mostra duas espiras paralelas com um eixo comum. A espira menor (de raio r ) está acima da espira maior (de raio R ) a uma distância x ≫ R . Em consequência, o campo magnético produzido por uma corrente i que atravessa a espira maior no sentido anti-horário é praticamente uniforme na região limitada pela espira menor. A distância x está aumentando a uma taxa constante d x d t = v . (a) Escreva uma expressão para o fluxo magnético através da bobina menor em função de x . (Sugestão: veja a Eq. 29-27). (b) Escreva uma expressão para a força eletromotriz induzida na espira menor. (c) Determine o sentido da corrente induzida na espira menor.

Passo 1

Essa é uma questão bem legal que trata de um assunto bem interessante: correntes em espiras podem induzir correntes em outras espiras!

A corrente na espira maior (de baixo) vai gerar um campo magnético na região em que se encontra a espira menor (de cima). No eixo das espiras, esse campo é dado pela equação 29-27:

B = μ 0 2 π x 3 ⋅ i π R 2 = μ 0 i R 2 2 x 3

Este campo aponta para cima e a expressão é válida para x ≫ R . Sendo rigoroso, essa fórmula só valeria no eixo da espira, não em toda a região limitada pela espira menor. Todavia, fazendo a aproximação de que o raio r não seja muito grande e que as espiras estejam bem afastadas, podemos aproximá-lo como constante para o cálculo do fluxo:

Φ B = ∫ B → ⋅ d A → ≈ B ⋅ A = μ 0 i R 2 2 x 3 ⋅ π r 2

Portanto, o fluxo será

Φ B = π μ 0 i r 2 R 2 2 x 3

Passo 2

Pela lei de Faraday, basta derivar o fluxo no tempo que obtemos a fem induzida:

ε = - d Φ B d t = - π μ 0 i r 2 R 2 2 d d t x - 3

Assim, pela regra da cadeia:

ε = - π μ 0 i r 2 R 2 2 ⋅ - 3 x - 4 ⋅ d x d t = 3 π μ 0 i r 2 R 2 2 x 4 ⋅ d x d t

Mas foi dado no enunciado que

v = d x d t

Isso representa a velocidade de afastamento das espiras. Desta forma,

ε = 3 π μ 0 i r 2 R 2 v 2 x 4

Passo 3

Como sinal da fem calculada no passo anterior foi positivo, a corrente induzida vai percorrer a espira menor no mesmo sentido anti-horário (mesmo da espira de baixo).

Também poderíamos chegar nessa conclusão pensando da seguinte maneira:

Como as espiras estão se afastando, o campo magnético sobre a menor está diminuindo, de modo que o fluxo está diminuindo. Assim, a espira menor deve induzir nela um campo magnético no mesmo sentido para compensar essa perda. Para que esse campo tenha o mesmo sentido, a corrente induzida deve percorrer a espira no sentido anti-horário.

Resposta

Φ B = π μ 0 i r 2 R 2 2 x 3

ε = 3 π μ 0 i r 2 R 2 v 2 x 4

Sentido anti-horário.

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