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Na Fig. 31-37, um gerador trifásico G produz energia elétrica que é transmitida através de três fios. Os potenciais dos três fios (em relação a uma referência comum) são V 1 = A   s e n   ω t para o fio 1, V 2 = A   s e n   ω t - 120 ° para o fio 2 e V 3 = A   s e n   ( ω t - 240 ° ) para o fio 3. Alguns equipamentos industriais pesados (motores, por exemplo) possuem três terminais e são projetados para serem ligados diretamente aos três fios. Para usar um dispositivo mais convencional de dois terminais (uma lâmpada por exemplo), basta ligar o dispositivo a dois dos três fios. Mostre que a diferença de potencial entre dois fios quaisquer (a) oscila senoidalmente com frequência angular ω e (b) tem amplitude A 3 .

Passo 1

Basicamente, o que temos que fazer é calcular a diferença de potencial entre cada fio:

Δ V 12 = V 1 - V 2

Δ V 1 3 = V 1 - V 3

Δ V 23 = V 2 - V 3

Para isso, usaremos a fórmula trigonométrica:

s e n   x - s e n   y = 2   s e n   x - y 2 cos ⁡ x + y 2

Passo 2

Para Δ V 12 = V 1 - V 2 , temos que x = ω t e y = ω t - 120 ° . Assim,

x - y 2 = 120 ° 2 = 60 ° ⇒ s e n   x - y 2 = s e n   60 ° = 3 2

x + y 2 = 2 ω t - 120 ° 2 = ω t - 60 °

Portanto,

Δ V 12 = A 3 cos ⁡ ω t - 60 °

Passo 3

Para Δ V 1 3 = V 1 - V 3 , temos que x = ω t e y = ω t - 24 0 ° . Assim,

x - y 2 = 24 0 ° 2 = 12 0 ° ⇒ s e n   x - y 2 = s e n   12 0 ° = 3 2

x + y 2 = 2 ω t - 24 0 ° 2 = ω t - 12 0 °

Portanto,

Δ V 1 3 = A 3 cos ⁡ ω t - 12 0 °

Passo 4

Para Δ V 2 3 = V 2 - V 3 , temos que x = ω t - 120 ° e y = ω t - 240 ° . Assim,

x - y 2 = 12 0 ° 2 = 6 0 ° ⇒ s e n   x - y 2 = s e n   6 0 ° = 3 2

x + y 2 = 2 ω t - 36 0 ° 2 = ω t - 1 8 0 °

Portanto,

Δ V 13 = A 3 cos ⁡ ω t - 1 8 0 °

Note que nos três casos, a amplitude é A 3 e a frequência de oscilação é ω !

Resposta

Demonstração.

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