Enunciado

A Fig. 33-74 mostra um resistor cilíndrico de comprimento l , raio a e resistividade r , que conduz uma corrente i . (a) Mostre que o vetor de Poynting na superfície do resistor é perpendicular à superfície, como indicado na figura. (b) Mostre também que a taxa P com a qual a energia penetra no resistor através da superfície cilíndrica, calculada integrando o vetor de Poynting ao longo da superfície, é a taxa de produção de energia térmica:

∫ S → ⋅ d A → = i R 2

em que d A → é um elemento de área da superfície cilíndrica e R é a resistência do resistor

Passo 1

E aí meus queridos aluninhos e aluninhas!

Bora pra nonagésima quinta questão dos problemas adicionais desse capítulo 33 do Halliday!

E é mais uma questão de eletricidade e magnetismo pra encarar!

Passo 2

a) Pois muito bem! Vamos começar, então!

Nesse primeiro item, a questão pede pra gente mostrar que o vetor de Poynting na superfície do resistor é perpendicular à superfície.

A questão fornece pra gente na imagem da figura do enunciado a corrente i circulando no fio cilíndrico, de baixo para cima. Vamos começar nosso raciocínio, considerando que o cilindro coinicide com um dos nossos eixos de referência, que é o eixo z . E nesse caso, o semieixo z positivo vai apontar pra cima.

Analisando a forma como a corrente i está circulando, temos que o campo magnético vai apontar no sentido horário concentricamente à seção transversal do fio.

E uma vez que adotamos que o eixo z coincide com o resistor e aponta para cima, tanto a corrente como o campo elétrico apontam no sentido do semieixo z negativo.

Então, dado que o vetor S → nada mais é do que o produto vetorial entre os vetores campo elétrico e campo magnético, basta usar um truquezinho que o produtor vai te passar!

Passo 3

Vamos determinar a orientação de S com base em versores. Versores são os vetores unitários, que tem a mesma orientação que um eixo. No nosso caso, os versores correspondente são z ^ , θ ^ e r ^ ; equivalentes respectivamente às direções perpendicular, radial e transversal ao eixo.

Se liga só! O vetor campo elétrico tem orientação no sentido negativo do eixo z . Então, o versor correspondente é ( - z ^ ) . Já o vetor campo magnético aponta no sentido horário. Por convenção, costumamos adotar o sentido horário como negativo. Desse modo, temos que o versor correspondente é ( - θ ^ ) .

Como S → = E → × B → , então S → aponta na direção de...

d i r e ç ã o   d e   S → = ( - z ^ ) × ( - θ ^ )

d i r e ç ã o   d e   S → = - r ^

Ou seja, temos a comprovação de que S → aponta radialmente para dentro do resistor.

Passo 4

b) Para esse segundo item,temos que determinar a taxa P com a qual a energia penetra no resistor através da superfície cilíndrica, que é calculada integrando o vetor de Poynting ao longo da superfície.

Bom! Primeiro tem que se ligar no módulo do vetor de Poynting, né? Que é dado pela seguinte fórmula...

S = E B μ 0

Precisamos do módulo dos vetores E e B !

Pois muito bem! Como esse problema é similar ao anterior, onde também tínhamos um fio cilíndrico resistor percorrido por corrente, as fórmulas para obter E e B são praticamente as mesmas. No nosso caso, elas são dadas por...

E = i R l

B = μ 0 i 2 π a

Sendo assim, temos que...

S = E B μ 0

S = i R l ⋅ μ 0 i 2 π a ⋅ 1 μ 0 = i 2 R 2 π a l

Passo 5

Onde como o módulo do vetor de Poynting é constante, temos então que...

∫ S → ⋅ d A → = S A

E como A é referente apenas à área de superfície cilíndrica, ou seja a área lateral, ignoraremos a seção transversal. Desse modo...

∫ S → ⋅ d A → = i 2 R 2 π a l ⋅ 2 π a l

∫ S → ⋅ d A → = i 2 R

Chegando assim, ao resultado desejado!

Good work, guys!

Resposta

a)

S →   a p o n t a   r a d i a l m e n t e   p a r a   d e n t r o   d o   r e s i s t o r

b)

∫ S → ⋅ d A → = i 2 R

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