Enunciado

Na Fig. 33-73, um fio longo e retilíneo, com 2,50   m m de diâmetro e uma resistência de 1,00   Ω por 300   m , conduz uma corrente uniforme de 25,0   A no sentido positivo do eixo x . Calcule, para um ponto P na superfície do fio, (a) o módulo do campo elétrico , (b) o módulo do campo magnético e (c) o módulo do vetor de Poynting. (d) Determine a orientação de S → .

Passo 1

E aí meus queridos aluninhos e aluninhas!

Bora resolver mais uma questão dos problemas adicionais desse capítulo 33 do Halliday!

O legal nos ‘‘Problemas adicionais’’, é que a gente tem a oportunidade de resolver questões sobre assuntos que estão nos outros volumes do Halliday. Nessa questão, por exemplo, vamos revisitar o assunto de eletricidade, que já estudamos anteriormente no volume 3.

Passo 2

a) Pois muito bem! Vamos começar, então!

Nesse primeiro item, a questão pede pra gente calcular o módulo do campo elétrico naquele ponto P destacado na figura do enunciado.

A questão fornece pra gente a corrente i circulando no fio cilíndrico, o comprimento do fio (que chamaremos de l ), sua resistência ( R ) e seu raio ( r ) .

Uma vez que está circulando no fio uma corrente, é devido ao fato de que uma diferença de potencial está sendo gerada. E essa diferença de potencial, que chamaremos de V , pode ser dada em função da resistência R e da corrente i por...

V = R i

Agora se liga só! Todos os pontos na superfície do rio, estão sujeitos ao mesmo campo elétrico. E com base nesse potencial elétrico que a gente acabou de descobrir, podemos relacioná-lo com um dado que a gente tem, que é o comprimento l ... Sendo assim, temos que:

E = V l = R i l

Calculando, obtemos o nosso valor...

E = ( 1,00   Ω ) ( 25,0   A ) ( 300   m )

E = 0 , 0833   V / m

Onde o campo elétrico no ponto P aponta no mesmo sentido que a corrente, ou seja, no sentido do semieixo x positivo.

Passo 3

b) Para esse segundo item, temos que obter o módulo do campo magnético em P !

Dos estudos sobre magnetismo, sabemos que quando um fio retilíneo é percorrido com uma corrente elétrica  i , ele gera ao seu redor um campo magnético, cujas as linhas do campo são circunferências concêntricas pertencentes ao plano perpendicular ao fio e com centro comum em um ponto dele.

E através da lei de Ampére conseguimos determinar o módulo do campo magnético. Ela nos diz que “o vetor campo magnético é tangente as linhas do campo magnético”. Assim a tangente as linhas do campo magnética será a direção dele, e a intensidade do campo será dado pela seguinte equação:

B = μ 0 i 2 π r

Onde μ 0 é a constante de permeabilidade magnética do meio (no caso o vácuo), e igual a 4 π ⋅ 10 - 7   T ⋅ m / A ... Sendo assim, temos que:

B = ( 4 π ⋅ 10 - 7   T ⋅ m / A ) ( 25,0   A ) 2 π ( 1,25 ⋅ 10 - 3   m )

B = 4,00 ⋅ 10 - 3   T

E esse campo, como já comentamos brevemente, aponta no sentido do semieixo z positivo (para fora do papel).

Passo 4

c) Quando ao módulo do vetor de Poynting, S → = E → × B → , com base em nossa bibliografia, temos que ele é dado por...

S = E B μ 0

E dado que já sabemos B e E , então podemos determinar S como:

S = ( 0,0833   V / m ) ( 4,00 ⋅ 10 - 3   T ) ( 4 π ⋅ 10 - 7   T ⋅ m / A )

S = 265,15   W / m 2

Passo 5

d) Por fim, falta determinar a orientação de S → .

Sabemos que o vetor campo elétrico aponta na direção do semieixo x positivo e o campo magnético aponta na direção do semieixo z positivo.

Com isso, usando a regra da mão direita, podemos constatar que o que o vetor de Poynting no ponto P aponta no sentido do semieixo y negativo.

Outra forma de resolver esse item é usando versores. Versores são vetores unitários que apresentam a mesma orientação de um eixo.

No caso dos eixos x , y e z ; os versores correspondentes respectivamente são i ^ , j ^ e k ^ .

Passo 6

Agora, repara na tabela abaixo que mostra o produto vetorial desses versores...

A gente sabe que S → = E → × B → ! Ou seja, temos na mão nada mais do que o produto vetorial entre o versor i ^ (no eixo x ) com o versor k ^ (do eixo z ). E pela imagem acima, podemos ver que isso nos resulta em um versor - j ^ , nos dando um vetor que aponta para o semieixo y negativo.

Entendeu a sacada?

Bora pra frente que atrás vem gente!

Resposta

a)

E = 0 , 0833   V / m

b)

B = 4,00 ⋅ 10 - 3   T

c)

S = 265,15   W / m 2

d)

A p o n t a   n o   s e n t i d o   d o   s e m i e i x o   y   n e g a t i v o

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