Enunciado

Na Fig. 33-77, um albatroz está planando horizontalmente com uma velocidade constante de 15   m / s acima de um terreno plano, movendo-se em um plano vertical que inclui o Sol. A ave se aproxima de uma parede de altura h = 2,0   m e está à mesma altura do solo que a extremidade superior da parede. Nessa hora do dia, o ângulo do Sol em relação ao solo é θ = 30 ° . Com que velocidade a sombra do albatroz se move (a) horizontalmente, ao longo do solo, e (b) verticalmente, ao longo da parede? Mais tarde, um gavião percorre o mesmo caminho, com a mesma velocidade. Você observa que, no momento em que a sombra do gavião atinge a parede, a velocidade da sombra aumenta perceptivelmente. (c) Nesse momento, o Sol está mais alto ou mais baixo no céu que durante o voo do albatroz? (d) Se a velocidade da sombra do gavião na parede é 45   m / s , qual é o ângulo θ do Sol nesse momento?

Passo 1

E aí meus caros(as)! Bora agora pra questão 104!

No primeiro item, a gente tem que descobrir a velocidade que a sombra do albatroz está se movendo!

a) Agora se liga! A gente tem a seguinte imagem abaixo, que esboça mais ou menos como os raios de sol incidem no passarinho...

Acontece que a gente tem que considerar que o sol está suficientemente distante da Terra para que os raios solares sejam considerados paralelos.

Em

Desse modo, se um raio solar faz um ângulo θ com a horizontal quando o pássaro está em uma posição, outro raio faz o mesmo ângulo com a horizontal quando o pássaro está em outra posição.

E então, a sombra do albatroz vai se mover à mesma velocidade que o pássaro, isto é...

v h o r i z o n t a l , a l b a t r o z = 15,0   m / s

Passo 2

b) Agora, vamos ter de obter a velocidade do albatroz, verticalmente ao longo do parede.

Para isso, vamos dar uma olhada na seguinte figura abaixo...

Pela imagem acima, podemos ver...

tan ⁡ θ = y x

y = x tan ⁡ θ

Como o pássaro, e consequentemente sua sobra, mudam de posição conforme o tempo, vamos derivar os dois lados da equação acima em relação à t :

d y d t = d x d t tan ⁡ θ

d x / d t   é a velocidade da sombra do albatroz na horizontal, que no item anterior, descobrimos ser igual à:

d x d t = v h o r i z o n t a l , a l b a t r o z = 15,0   m / s

E como a questão nos fornece o ângulo θ de 30 ° ...

d y d t = d x d t tan ⁡ θ

d y d t = ( 15,0   m / s ) tan ⁡ 30 °

d y d t = 8,7   m / s

Como adotamos o eixo y positivo para baixo, isso significa que a distância y (medida como uma distância positiva para baixo a partir do alto da parede) está diminuindo à taxa de 8,7   m / s .

Passo 3

c) Vamos analisar agora, a posição do Sol durante o voo do albatroz comparando com o do gavião.

Bom! Anteriormente a gente descobriu a seguinte fórmula para o voo desses pássaros aí:

d y d t = d x d t tan ⁡ θ

Quando o ângulo θ aumenta a partir de 0 ° , já que o seno está aumentando e o cosseno diminuindo, significa que um valor maior de d y / d t está associado a um valor maior de θ .

Logo, o Sol vai estar mais alto no céu durante o voo do gavião do que durante o voo do albatroz... Já que por sua velocidade da sombra na parede ser maior, o ângulo θ também será!

Passo 4

d) A mesma fórmula que vale para o albatroz, vale também para o gavião...

d y d t = d x d t tan ⁡ θ

Vamos isolar θ , que é o que pede esse item:

θ = tan - 1 ⁡ d y d t d x d t

E a questão nos diz que a velocidade da sombra do gavião na parede é 45   m / s . Isto é...

d y d x = 45   m / s

Só que quando a velocidade horizontal da sombra do gavião, conforme fala o enunciado, vai ser a mesma do albatroz...

d x d t = 15,0   m / s

Assim, o ângulo θ será de...

θ = tan - 1 ⁡ d y d t d x d t

θ = tan - 1 ⁡ 45,0   m / s 15,0   m / s

θ = tan - 1 ⁡ 3

θ = 71,56 °

θ ≈ 72 °

Pronto! Obtivemos todas as nossas respostas!

Resposta

a)

v h o r i z o n t a l , a l b a t r o z = 15,0   m / s

b)

d y d t = 8,7   m / s

c)

O   S o l   v a i   e s t a r   m a i s   a l t o   n o   c é u   d u r a n t e   o   v o o   d o   g a v i ã o  

d)

θ ≈ 72 °

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