Enunciado

Física - Halliday - Vol 4 - Capítulo 34.3 - Ex. 39

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Na Fig. 34-37, um feixe de raios luminosos paralelos produzido por um laser incide em uma esfera maciça transparente de índice de refração n . ( a ) Se uma imagem pontual é produzida na superfície posterior da esfera qual é o índice de refração da esfera? ( b ) Existe algum valor do índice de refração para o qual é produzida uma imagem pontual no centro da esfera? Se a resposta for afirmativa, qual é esse valor?

Passo 1

Bom, a figura dada no problema vai nos ajudar a encontrar a resposta da letra (a), como a imagem é formada no ‘fundo da esfera’, a gente pode dizer que i = 2 r já que os raios precisam ultrapassar toda a esfera para chegar na imagem (se olharmos para o raio do meio fica mais fácil de entender isso).

Outra coisa q a gente pode dizer é que a distância do objeto em relação à esfera é infinita p → ∞ , já que os raios vêm de um laser que está muito longe da esfera. E como o índice de refração do meio 1 é o ar, temos tudo que precisamos para calcular o índice da esfera.

Passo 2

Podemos chegar na resposta pela equação de superfícies refratoras esféricas:

n 1 p + n 2 i = n 2 - n 1 r

Isolando n 2 :

n 2 = n 1 1 p + 1 r 1 r - 1 i

Substituindo o que a gente havia analisado no passo 1:

n = 1,0 1 r 1 r - 1 2 r = 1 r 1 2 r = 2,0

Passo 3

Na letra (b) a questão pede o índice de novo, mas agora a imagem tem que estar no centro da esfera, o que significa que i = r , e os outros valores ficam os mesmos que usamos para resolver a letra (a), então:

n = 1,0 1 r 1 r - 1 r

Mas como dá para ver, a equação acima resulta em n → ∞ o que significa que não tem como focalizarmos os raios luminosos do laser no centro da esfera, então não é possível colocar a imagem lá.

Resposta

a n = 2,0

b N ã o   e x i s t e

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