Enunciado

A Fig. 5-45 mostra um bloco de 5,00   k g sendo puxado em um piso sem atrito por uma corda que aplica uma força de módulo constante de 20,0   N e um ângulo θ ( t ) que varia com o tempo. Quando o ângulo θ chega a 25 ° , qual é a taxa de variação da aceleração do bloco se (a) θ t = ( 2,00 × 10 - 2   g r a u s / s ) t   e (b) θ t = - ( 2,00 × 10 - 2   g r a u s / s ) t ? (Sugestão: Transforme os graus em radianos.)

Passo 1

Esta é uma questão de aplicação da segunda lei de Newton. Além disso, para resolver este problema precisamos saber a derivada, pois ele nos pede a taxa de variação da aceleração do bloco e quando falamos em taxa de variação devemos associar a derivada, show?

Inicialmente vamos escrever a segunda lei de Newton para a componente x , considerando o eixo x paralelo ao chão:

F cos ⁡ θ = m a

Isolando a aceleração a :

a = F m cos ⁡ θ

Substituindo os valores da massa e da força que são fixos:

a = 20 5 cos ⁡ θ

a = 4 cos ⁡ θ     e q . 1

Antes de fazer qualquer cálculo, vamos seguir a sugestão do enunciado e transformar de graus para radianos. Para isso, multiplicaremos o valor por um fator de π / 180 ° .

Passo 2

Determinando qual o instante que o ângulo é igual a 25 ° = 0,436   r a d :

0,436 = 3,5 × 10 - 4   t a

Isolando t a :

t a = 1246   s

Quando o ângulo for negativo, teremos o mesmo valor, porém com negativo.

Passo 3

Substituindo o primeiro valor de θ na e q . 1 :

a = 4 cos ⁡ 2 × 10 - 2 t

a = 4 cos ⁡ ( 3 , 5 × 10 - 4 t )

Derivando os dois lados em função do tempo:

d a d t = - 4 sin ⁡ 3,5 × 10 - 4 t × 3,5 × 10 - 4 = - 14 × 10 - 4 sin ⁡ 3,5 × 10 - 4 t

Substituindo agora o instante calculado no passo anterior:

d a d t = - 14 × 10 - 4 sin ⁡ ( 3,5 × 10 - 4 × 1246 ) = - 5,9 × 10 - 4   m / s 3

Passo 4

Agora, de maneira análoga, fazendo para o segundo θ dado:

a = 4 cos ⁡ 3,5 × 10 - 4 t

Derivando os dois lados em função do tempo:

d a d t = - 4 sin ⁡ - 3,5 × 10 - 4 t × - 3,5 × 10 - 4 = 14 × 10 - 4 sin ⁡ - 3 , 5 × 10 - 4 t

Substituindo agora o instante calculado:

d a d t = 14 × 10 - 4 sin ⁡ ( - 3,5 × 10 - 4 × - 1246 ) = 5,9 × 10 - 4   m / s 3

Resposta

  1. - 5,9 × 10 - 4   m / s 3 ;
  2. 5,9 × 10 - 4   m / s 3 .
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