Enunciado

A Fig. 5-47 mostra uma máquina de Atwood, na qual dois recipientes estão ligados por uma corda (de massa desprezível) que passa por uma polia sem atrito (também de massa desprezível). No instante t = 0 , o recipiente 1 tem uma massa de 1,30   k g e o recipiente 2 tem uma massa de 2,80   k g , mas o recipiente 1 está perdendo massa (por causa de um vazamento) a uma taxa constante de 0,200   k g / s . Com que taxa o módulo da aceleração dos recipientes está variando (a) em t = 0 e (b) em t = 3,00   s ? (c) Em que instante a aceleração atinge o valor máximo?

Passo 1

Esta é uma questão não muito comum em física I, pois envolve a aplicação da segunda lei de Newton para um corpo cuja a massa varia com o tempo.

Para ser uma resolução mais visual, vamos proceder de modo análogo ao que fazemos com as massas fixas. Para tanto, vamos iniciar escrevendo a segunda lei de Newton para o eixo y de cada bloco individualmente:

Bloco 1 :

T - P 1 = m 1 a       e q . 1

Bloco 2 :

T - P 2 = - m 2 a       e q . 2

Vamos, começar a entender essas equações... Primeiro, por que eu usei T nas duas? As trações que atuam nos blocos têm o mesmo módulo, tendo em vista que a polia é ideal. Nós sabemos que as acelerações de cada bloco também têm o mesmo módulo, porque os blocos se movem juntos. Por fim, como determinei o semieixo y positivo apontando para cima, no qual um bloco sobe e outro desce, então eu tive que expressar qual sobe e qual desce no sinal de mais e de menos do lado direito da equação da segunda lei de Newton. Pegou?

Passo 2

Agora isolaremos a tração na e q . 1 :

T = m 1 a + m 1 g

Substituindo na e q . 2 ;

m 1 a + m 1 g - m 2 g = - m 2 a

Isolando o a :

a = g × m 2 - m 1 m 1 + m 2         e q . 3

Passo 3

Antes de substituir os valores dados no problema, precisamos lembrar que m 1 tem uma peculiaridade, então vamos transcrever o que foi dado no problema de forma numérica:

m 1 = 1,3 - 0,2 t

Ou seja, inicialmente m 1 tem massa igual a 1,3   k g , porém a cada segundo ela perde 0,2   k g .

Passo 4

Substituindo os valores na e q . 3 :

a ( t ) = 9,8 × 2,8 - 1,3 - 0,2 t 1,3 - 0,2 t + 2,8

a ( t ) = 9,8 × 1,5 + 0,2 t 4,1 - 0,2 t = 14,7 + 1,96 t 4,1 - 0,2 t

Passo 5

Com a função da aceleração calculada, podemos determinar com que taxa o módulo da aceleração está variando nos instantes pedido derivando esta função. Para isso, teremos que usar a regra do quociente:

d a ( t ) d t = 1,96 × 4,1 - 0,2 t - - 0,2 × 14,7 + 1,96 t 4,1 - 0,2 t 2

d a t d t = 8,04 - 0,39 t + 2,94 + 0,39 t 16,81 - 1,64 t + 0,04 t 2 = 10,98 16,81 - 1,64 t + 0,04 t 2

Passo 6

Para o instante de t = 0 :

d a 0 d t = 10,98 16,81 = 0,653   m / s 3

Passo 7

Para o instante t = 3   s :

d a 3 d t = 10,98 16,81 - 1,64 × 3 + 0,04 × 3 2 = 0,896   m / s 3

Passo 8

Para determinar a aceleração máxima, poderíamos pensar nos pontos críticos da derivada e blá blá blá, porém, segue meu raciocínio:

Eu tenho dois blocos, onde um está caindo e outro está subindo. O bloco que está caindo só não está em queda livre devido a tração que liga os dois corpos, pois o segundo bloco, apesar de estar subindo, ele tem a força peso vertical e para baixo. Show? Então, pensando nesse sistema a massa do bloco que está caindo vai ser máxima quando a massa do bloco que está subindo e perdendo massa for zero.

Assim:

m 1 = 1,3 - 0,2 t = 0

Isolando o t :

t = 1,3 0,2 = 6,5   s

Resposta

  1. d a 0 d t = 0,653   m / s 3 ;
  2. d a 3 d t = 0,896   m / s 3 ;
  3. t = 6,5   s .
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