Enunciado

Na Fig. 8-40, um bloco de massa m = 12   k g é liberado a partir do repouso em um plano inclinado sem atrito de ângulo θ = 30 ° . Abaixo do bloco há uma mola que pode ser comprimida 2,0   c m por uma força de 270   N . O bloco para momentaneamente após comprimir a mola 5,5   c m . (a) Que distância o bloco desce ao longo do plano da posição de repouso inicial até o ponto em que para momentaneamente? (b) Qual é a velocidade do bloco no momento em que entra em contato com a mola?

Figura 8-40 Problema 29

Passo 1

Temos 3 pontos principais: 1 – bloco inicialmente em repouso; 2 – bloco entra em contato com a mola; 3 – bloco comprime a mola e para momentaneamente, como mostrado na Figura abaixo.

a) Como uma força de 270   N é capaz de comprimir a mola em 0,02   m , sua constante elástica ( k ) será

k = F x

k = 2 7 0 0,02 = 1,35.10 4 N / m

A distância entre os pontos 1 e 3 é dada por d + x . Essa distância está relacionada com a altura por meio da inclinação do plano por meio da equação abaixo

s e n θ = h 1 d + x

No ponto 1, tem-se apenas a energia potencial gravitacional, uma vez que o bloco encontra-se em repouso. Já no ponto 3, o bloco possui apenas a energia potencial elástica, pois ele para momentaneamente. Dessa forma, pelo princípio de conservação da energia mecânica

U 1 = U 3

U g 1 = U e 3

m g h 1 = 1 2 k x 2

Colocando h 1 em evidência

h 1 = k x 2 2 m g

Para k = 1,35.10 4 N / m , x = 0,055   m , m = 12   k g e g = 9,81   m / s 2

h 1 = 1,35.10 4 . 0,055 2 2.12.9,81

h 1 = 0,173   m

Assim, a distância total percorrida será

d + x = h 1 s e n θ = 0,173 s e n 30 °

d + x = 0,346 ≈ 0,35   m  

Passo 2

b) A distância do ponto 1 ao 2 será

d = 0,35 - x = 0,35 - 0,055

d = 0,295   m

O que nos dá uma variação de altura ∆ h

∆ h = h 1 - h 2 = d . s e n θ = 0,295 . s e n 30 °

∆ h = 0,1475   m

No ponto 2 tem-se energia potencial gravitacional e energia cinética. Fazendo o princípio da conservação da energia mecânica entre os pontos 1 e 2

U g 1 = K 2 + U g 2

m g h 1 = 1 2 m v 2 + m g h 2

g h 1 = v 2 2 + g h 2

Colocando v em evidência

v 2 2 = g h 1 - g h 2

v 2 = 2 g h 1 - h 2

v = 2 g ∆ h

v = 2.9,81 0,1475

v = 1,7   m / s  

Resposta

a)   d + x ≈ 0,35   m  

b)   v = 1,7   m / s  

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