Enunciado

46. Use a expansão binomial e a equação R-17, para mostrar que, quando p c ≪ m c 2 , a energia total é dada aproximadamente por E = p c 2 + ( p 2 / 2 m ) .

Passo 1

(a) Sabemos que a equação a que se refere o problema, é dada pela seguinte fórmula

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4

Que podemos reescrever como:

E = p 2 c 2 + m 2 c 4

E = p 2 c 2 + ( m c 2 ) 2

Agora, vamos fazer uma modificação algébrica dentro da nossa raiz e isolar o termo ( m c 2 ) 2 :

E = ( m c 2 ) 2 p 2 c 2 m c 2 2 + 1

E =   m c 2 p 2 m 2 c 2 + 1

E =   m c 2 1 + p 2 m 2 c 2 1 / 2

Pronto! Obtemos a primeira relação que queríamos. Agora vamos usar expansão binomial na nossa expressãozinha ali que está elevado a 1 / 2 , para simplificar nossos cálculos. Lembra lá da expansão binomial?. Se não lembra é bom saber, que se existem dois números quaisquer a e b , ao elevarmos a soma desses dois números a outro número qualquer n , a expressão pode ser escrita, por expansão binomial como:

( a + b ) n = a n + n a n - 1 b + n n - 1 2 a n - 2 b 2 + ⋯ + b n

Então, vamos reescrever nossa fórmula da raiz, obtida anteriormente, como:

1 + p 2 m 2 c 2 1 / 2 = 1 + 1 2 p 2 m 2 c 2 + ⋯

Bom! Paramos até o segundo termo, porque depois daí, os outros são tão pequenos que aproximam-se de zero e devem ser desprezados! Isso é claro, já considerando a condição dada de que p c ≪ m c 2 . Logo, chegamos que:

1 + p 2 m 2 c 2 1 / 2 ≈ 1 + 1 2 p 2 m 2 c 2

Passo 2

Agora, só o que nos resta fazer é substituir a aproximação para a expansão binomial encontrada na nossa fórmula da energia E :

E =   m c 2 1 + p 2 m 2 c 2 1 / 2

E ≈ m c 2 1 + 1 2 p 2 m 2 c 2

E ≈ m c 2 + p 2 2 m

Esse resultado nada mais é do que a energia de repouso somado com a energia cinética não relativística.

Resposta

E ≈ m c 2 + p 2 2 m , que é a soma da energia cinética não-relativística com a energia de repouso.

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