Enunciado

Uma caixa de pão de 2,0   k g sobre um plano inclinado sem atrito de ângulo θ = 40,0 ° está presa, por uma corda que passa por uma polia, a uma mola de constante elástica k = 120   N / m , como mostra a Fig. 8-41. A caixa é liberada a partir do repouso quando a mola se encontra relaxada. Suponha que a massa e o atrito da polia sejam desprezíveis. (a) Qual a velocidade da caixa após percorrer 10   c m ? (b) Que distância o bloco percorre do ponto em que foi liberado até o ponto em que para momentaneamente e quais são (c) o módulo e (d) o sentido (para cima ou para baixo ao longo do plano) da aceleração do bloco no instante em que para momentaneamente?

Figura 8-41 Problema 30

Passo 1

a) Tomemos a posição 1 como a altura inicial da caixa e o ponto 2, a altura da caixa quando ela percorre uma distância d . Além disso, utilizaremos o ponto 1 como referência.

A altura h do ponto 2 será dado por h = - d . s e n 40 ° .

No ponto 1, energia cinética igual a zero (caixa em repouso) e energia potencial igual a zero (mola relaxada). No ponto 2, temos energia cinética, potencial elástica e potencial gravitacional. Logo , pelo princípio da conservação entre os pontos 1 e 2, temos

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

K 2 + U e 2 + U g 2 = 0

1 2 m v 2 + 1 2 k x 2 + m g h = 0

1 2 m v 2 = - 1 2 k x 2 - m g h

v 2 = - k x 2 m - 2 g h

v = - k x 2 m - 2 g h

Para um deslocamento d = 0,1   m , x = d , k = 120   N / m , m = 2,0   k g , g = 9,81   m / s 2

v = - 120.0,1 2 2 - 2.9,81 - 0,1 . s e n 40 °

v = 0,81   m / s  

Passo 2

b) No ponto em que a caixa para momentaneamente ( K = 0 ), temos

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

Com K 1 = K 2 = U 1 = 0

U e 2 + U g 2 = 0

m g h + 1 2 k d 2 = 0

m g - d s e n 40 ° + 1 2 k d 2 = 0

m g s e n 40 ° = k 2 d

d = 2 m g s e n 40 ° k = 2.2 . 9,81 . s e n 40 ° 120

d = 0,21   m  

Passo 3

No instante em que a caixa encontra-se parado, temos a força elástica da mola ( F m ) para cima e componente x da gravidade ( P x ) que age sobre a caixa para baixo. Assim a Força resultante será

F r = - F m + P x = - k d + m g s e n 40 °

F r = - 120.0,21 + 2.9,81 . s e n 40 °

F r ≈ - 12,6   N

A força é dada por

F = m a

Logo a aceleração será

a = F r m = - 12,6 2

a = - 6,3   m / s 2

c) Dessa forma, o módulo da aceleração é a = 6,3   m / s 2

Passo 4

d) E o seu sentido é contrário ao movimento, logo seu sentido é Para cima.

Resposta

a)   v = 0,81   m / s  

b)   d = 0,21   m  

c) a = 6,3   m / s 2

d) Para cima

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