Enunciado

A Fig. 8-48 mostra um gráfico da energia potencial U em função da posição x para uma partícula de 0,90   k g que pode se deslocar apenas ao longo de um eixo x . (Forças dissipativas não estão envolvidas.) Os três valores mostrados no gráfico são U A   =   15,0   J , U B   =   35,0   J e U C   =   45,0   J . A partícula é liberada em x   =   4,5   m com uma velocidade inicial de 7,0   m / s , no sentido negativo de x . (a) Se a partícula puder chegar ao ponto x   =   1,0   m , qual será sua velocidade nesse ponto? Se não puder, qual será o ponto de retomo? Quais são (b) o módulo e (c) a orientação da força experimentada pela partícula quando ela começa a se mover para a esquerda do ponto x   =   4,0   m ? Suponha que a partícula seja liberada no mesmo ponto e com a mesma velocidade, mas o sentido da velocidade seja o sentido positivo de x . (d) Se a partícula puder chegar ao ponto x   =   7   , 0   m , qual será sua velocidade nesse ponto? Se não puder, qual será o ponto de retorno? Quais são (e) o módulo e (f) a orientação da força experimentada pela partícula quando ela começa a se mover para a direita do ponto x   =   5,0   m ?

Figura 8-48 Problema 39.

Passo 1

  1. Oi, pessoal! Tudo bom? Nessa questão vamos aplicar a conservação da energia!

E = K A + U A = U B + K B

Vamos analisar o momento inicial A , onde x = 4,5   m , U = U A = 15,0   J e K A = 1 2 m v A 2 .

Repara que temos que calcular K A . Para m = 0,9   k g e v A = 7,0   m / s

K = 0,9 × 7 2 2 = 22,05   J

Logo a energia mecânica será:

E = 15,0 + 22,05 = 37,05 J

Como a energia mecânica é maior do que a energia potencial no ponto x = 1,0 m ( U B = 35,0 J ) , a partícula consegue chegar nesse ponto.

Em x = 1,0   m , U = U B = 35   J . Logo pela lei da conservação da energia

37,05 = K B + U B

K B = 37,05 - 35 = 2,05

Agora que achamos a energia cinética de B , podemos encontrar a velocidade,

K B = m v B 2 2 = 2,05

Isolando v ,

v B = 2 × 2,05 0,9

v B = 2,1   m / s

Portanto a velocidade da partícula em x = 1,0 m é de v = 2,1 m / s .

Passo 2

b) A força é dada por

F = - d U d x

E como o gráfico é o de uma reta, temos que a derivada é dada por:

F = - ∆ U ∆ x

Usando os pontos x = 2,0   m e x = 4,0   m

F = - 35 - 15 2 - 4

F = 10   N

Passo 3

c) Como F > 0 , a força é no sentido positivo de x

Passo 4

d) Em x = 7,0   m , U = 45   J , maior que a energia mecânica E = 37,05   J e a partícula não consegue chegar nesse ponto.

Logo, temos um ponto de retorno onde K = 0 , esse ponto irá acontecer quando a energia potencial for igual a energia mecânica ( U = 37,05 J ) .

Por interpolação entre os pontos x = 5   m e x = 6   m :

5   m         -           15   J

x   m         -           37,05   J 6   m         -           45   J

x - 5 6 - 5 = 37,05 - 15 45 - 15

x = 5,7   m

Portanto, o ponto de retorno será em x = 5,7 m .

Passo 5

e) A força é dada por

F = - d U d x

E por ser uma reta a derivada é dada como:

F = - ∆ U ∆ x

Usando os pontos x = 5,0   m e x = 6,0   m

F = - 45 - 15 6 - 5

F = - 30   N

E o seu módulo é F = 30   N

Passo 6

f) Como F < 0 , a força é no sentido negativo de x

Resposta

a) v B = 2,1   m / s

b) F = 10   N

c) sentido positivo de x

d) x = 5,7   m

e) F = 30   N

f) sentido negativo de x

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