Enunciado

Uma força conservativa F atuando ao longo do eixo Ox e uma força dada pela lei de Hooke F = - k x atuam sobre um íon.

a) Mostre que uma possível função energia potencial para a combinação dessas forças é dada por U x = 1 2 k x 2 - F x - F 2 2 k

Essa é a única função possível? Explique.

b) Ache a posição do equilíbrio estável.

c) Faça um gráfico de U(x) (em unidades de F 2 k ) versus x (em unidades de F k ) para valores de x entre – 5 F k e 5 F k .

d) Existe alguma posição de equilíbrio instável?

e) Quando a energia total for E = F 2 k , qual será o valor máximo e o valor mínimo de x para o movimento do íon?

f) Sendo m a massa do íon, determine sua velocidade máxima quando a energia total for E = F 2 k . Para qual valor de x sua velocidade é máxima?

Passo 1

Vamos utilizar a equação F x = - d U ( x ) d x . O equilíbrio é estável onde U (x) é um mínimo local e o equilíbrio é instável onde U (x) é um máximo local.

Lembrando que d U ( x ) d x é a inclinação do gráfico de U em função de x; e K   =   E - U , então K é um máximo quando U é um mínimo. O máximo x é onde E = U.

Para

então essa é uma possível função potencial. Para esse potencial, U   ( 0 )   =   - F 2 2 k , não zero.

Definir o zero de potencial é equivalente a adicionar uma constante ao potencial; qualquer constante aditiva não mudará a derivada e corresponderá à mesma força.

No item (b), para o equilíbrio, a força é zero. Então,

- k x + F = 0

Como x 0 = F k , então

U   ( x 0 )   =   - F 2 2 k

No item (c), temos o seguinte gráfico

No item (d), o equilíbrio estável é apenas em um ponto de F t o t a l = 0 , por isso, não há outra localização.

No item (e), para um valor máximo e mínimo de x, temos que os valores extremos de x correspondem à velocidade zero, portanto, energia cinética zero, então

U   x = E

Resolvendo o quadrático, temos

1 2 k ( x - F k ) 2 - F 2 k

Então, x ± é igual a

1 2 k ( x ± - F k ) 2 - F 2 k = F 2 k

Logo,

x ± - F k = ± 2 F k

Então, para x positivo e negativo, temos

x + = 3 F k

x - = - F k

Para o item(f), a energia cinética máxima ocorre quando U (x) é mínimo, então, usando o ponto x 0 = F k , podemos fazer

K   =   E - U

K   = F 2 k - - F 2 k = 2 F 2 k

Então,

v = 2 F m k

Resposta

a)

b) U   ( x 0 )   =   - F 2 2 k

c) gráfico.

d) não há outra localização.

e) x + = 3 F k e x - = - F k

f) v = 2 F m k

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