Enunciado

Na Fig. 25-41, uma casca esférica não condutora, com raio interno a e raio externo b , tem uma densidade volumétrica de carga ρ = A r , onde A é constante e r é a distância ao centro da casca. Além disso, uma carga puntiforme q está localizada no centro. Qual deve ser o valor de A para que o campo elétrico na casca a ≤ r ≤ b tenha módulo constante? (Sugestão: A depende de a , mas não de b .)

Passo 1

Fala galera, bora lá! O problema pede para determinar uma expressão para o campo elétrico dentro da casca em termos de A e da distância ao centro da casca e, a seguir, determinar o valor de A de modo que tal campo não dependa da distancia.

Para começar, vamos escolher uma Gaussiana esférica de raio r g , concêntrica com a casca esférica e localizada dentro da casca, com a < r < b . Usando a lei de Gauss podemos determinar a magnitude do campo elétrico a uma distancia r g a partir do centro.

A carga contida somente sobre a casca dentro da Gaussiana é obtida através da integral

q c = ∫ ρ d V

calculada sobre a porção da casca carregada que está dentro da Gaussiana. Como a distribuição de carga tem simetria esférica, podemos escolher d V como sendo o volume de uma casca esférica de raio r e largura infinitesimal d r , o que nos fornece

d V = 4 π r 2 d r

Portanto, temos

q c = 4 π ∫ a r g ρ r 2 d r

Substituindo ρ por A / r

q c = 4 π ∫ a r g A r r 2 d r

Resolvendo a integral

q c = 2 π A r g 2 - a 2

Assim, a carga total dentro da superfície Gaussiana é

q + q c = q + 2 π A r g 2 - a 2

Passo 2

O campo elétrico é radial, de modo que o fluxo através da superfície Gaussiana é

Φ = 4 π ϵ 0 E r g 2

Onde E é a magnitude do campo. Aplicando agora a lei de Gauss obtemos

4 π ϵ 0 E r g 2 = q + 2 π A r g 2 - a 2

de onde tiramos

E = q + 2 π A r g 2 - a 2 4 π ϵ 0 r g 2

E = 1 4 π ϵ 0 q r g 2 + 2 π A - 2 π A a 2 r g 2

Passo 3

Para que o campo seja independente de r g devemos escolher A de modo que o primeiro e o último termo entre colchetes se cancelem. Isto ocorre se tivermos q - 2 π A a 2 = 0 , ou seja, para

A = q 2 π a 2

Quando então teremos para a magnitude do campo não dependente da distância.

E = A 2 ϵ 0 = q 4 π ϵ 0 a 2

Resposta

A = q 2 π a 2

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