Enunciado

Uma chapa plana, de espessura d , tem uma densidade volumétrica de carga constante ρ . Determine o módulo do campo elétrico em todos os pontos do espaço, tanto (a) dentro como (b) fora da chapa, em termos de x , a distância medida a partir do plano central da chapa.

Passo 1

Fala galera, bora lá!

Suponha que a carga total + Q esteja uniformemente distribuída ao longo da chapa. Considerando uma área muito grande, podemos imaginar que o campo elétrico possua uma direção ortogonal ao plano da superfície externa da placa.

A simetria desta chapa uniformemente carregada indica que o módulo do campo varia com a distância x . No centro da chapa, a simetria do problema indica que o campo elétrico deve ser nulo, ou seja,

E = 0 para x = 0

Na figura abaixo mostramos uma superfície gaussiana cilíndrica, sendo que a base está alinhada com o plano mediano da chapa.

Portanto, concluímos que o fluxo total através da superfície gaussiana cilíndrica S é dado por

∅ E = ∮ E d A = 2 E A

onde E é o módulo do campo elétrico a uma distância x do plano central x = 0 .

Passo 2

(a) A carga q i n t englobada no interior da superfície gaussiana cilíndrica é dada pela integral de ρ   d V no volume situado no interior da superfície. Como a densidade de carga ρ é constante, a carga total no interior da superfície é dada por

q i n t = 2 ρ x A

Sabendo que o campo elétrico é a somatória das cargas dividida pela permissividade elétrica do vácuo

E = ∑ q ϵ 0

Podemos aplicar a lei de Gauss para a superfície considerada, encontramos facilmente a seguinte resposta:

2 E A = q i n t ϵ 0

E = ρ x ϵ 0

Passo 3

(b) De maneira semelhante, construímos uma superfície semelhante, onde, agora, a área da base A está situada a uma distancia x = d / 2 do plano central x = 0 .

De acordo com a figura, vemos facilmente que temos:

q i n t = ρ A d

Assim, aplicando a lei de Gauss para a superfície considerada, encontramos a seguinte resposta:

2 E A = q i n t ϵ 0

E = ρ d 2 ϵ 0

Resposta

  1. E = ρ x ϵ 0
  2. E = ρ d 2 ϵ 0

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