Enunciado

A Fig. 31-49 mostra um esquema idealizado de um canhão sobre trilhos. O projétil P fica entre dois trilhos largos e circulares; uma fonte envia corrente através dos trilhos e do projétil (condutor). Não foi previsto o uso de fusível, (a) Seja w a distância entre os trilhos, R o raio dos trilhos e i a corrente. Mostre que a força sobre o projétil está dirigida para a direita ao longo dos trilhos e é daria aproximadamente por

F = i 2 μ 0 2 π ln ⁡ w + R R

(b) Sabendo-se que o projétil (neste caso uma bala-teste) parte do repouso da extremidade esquerda dos trilhos, determine a velocidade escalar v com que é lançado à direita. Suponha que i =450 kA, w = 12 mm, R = 6.7 cm, L = 4.0 m e que a massa da bala é m = 10 g.

Passo 1

Fala galera, bora lá!

(a) A força sobre o projétil é dada pela integral de

d F = i d L × B

ao longo do comprimento do projétil (que é w). A força do campo magnético pode ser encontrada somando as contribuições de cada trilho. Se os trilhos forem circulares e a distância entre eles for pequena comparada ao comprimento do fio, podemos usar a Eq. 31-13,

B = μ 0 i 2 π x

onde x é a distância do centro do trilho.

Passo 2

Há um problema, no entanto, porque esses não são fios de comprimento infinito. Como a corrente para de percorrer o trilho quando atinge o projétil, temos uma haste que é apenas metade de uma haste infinita, então precisamos multiplicar por um fator de 1/2. Mas há dois trilhos, e cada um contribuirá para o campo, então a força do campo magnético líquido entre os trilhos é

B = μ 0 i 4 π x + μ 0 i 4 π 2 r + w - x

Nesse último termo temos uma expressão que é uma medida da distância do centro do trilho inferior em termos da distância x do centro do trilho superior. A magnitude da força sobre o projétil é então

F = i ∫ r r + w B   d x = μ 0 i 2 4 π ∫ r r + w 1 x + 1 2 r + w - x d x

F = μ 0 i 2 2 π ln ⁡ r + w r

A corrente através do projétil está na página; o campo magnético através do projétil está na página; então a força no projétil, de acordo com F = i L × B , está à direita.

Passo 3

(b) Numericamente, o módulo da força no trilho é

F = 450 × 10 3 2 4 π × 10 - 7 2 π ln ⁡ 0,067 +   0,012 0,067 =   6 , 65 × 10 3   N

A velocidade do trilho pode ser encontrada a partir de qualquer conservação de energia, então primeiro encontramos o trabalho realizado no projétil.

W = F d

W = 6 , 65 × 10 3 4,0 = 2,66 × 10 4   J

Passo 4

Este trabalho resulta em uma mudança na energia cinética, então a velocidade final é

v = 2 W / m

v = 2,31 × 10 3   m / s

Resposta

  1. F = μ 0 i 2 2 π ln ⁡ r + w r
  2. v = 2,31 × 10 3   m / s

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