Enunciado

A Fig. 33-24 mostra, em seção transversal, dois solenoides coaxiais. Mostre que o coeficiente de indutância mutua M para um comprimento desta combinação solenoide - solenoide e dado por

  M   =   π R 1 2 l µ 0 n 1 n 2 ,  

onde n 1 e o número de espiras por unidade de comprimento do solenoide 1 e n 2 e o número de espiras por unidade de comprimento do solenoide 2.

R 1 e o raio do solenoide interno. Explique por que M depende de R 1 mas nao depende de R 2 , o raio do solenoide externo.

Passo 1

E aí meus queridos? Tudo certinho?

“Operador! Me dê o número do responde ai!.... Preciso resolver essa questão”

Assume que a corrente no solenoide 1 e i e calcule o fluxo concatenado no solenoide 2.

A indução mutua e igual a este fluxo dividido por i.

O campo magnético dentro do solenoide 1 e paralelo ao eixo e tem magnitude B   =   µ 0 i n 1 uniforme, onde n 1 e o número de espiras por unidade de comprimento do solenoide.

A área da seção reta do solenoide e π R 1 2 e, como o campo e perpendicular a uma seção reta, o fluxo através da seção reta e

ϕ = A B = π R 1 2 μ 0 n 1 i

Passo 2

Como o campo magnético e nulo fora do solenoide, este e tambem o valor do fluxo através de uma seção do solenoide 2.

O número de espiras num comprimento do solenoide 2 e N 2   =   n 2 l e o fluxo concatenado e

N 2 ϕ = n 2 l π R 1 2 μ 0 n 1 i

A indutância mútua é, portanto

M = N 2 ϕ i = π R 1 2 l μ 0 n 1 n 2

M nao depende de R 2 porque nao existe campo magnético na região entre os solenoides.

Mudando R 2 nao se altera o fluxo através do solenoide 2; mas mudando R 1 , o fluxo altera-se.

Passo 3

Usando a Eq. 33-33, ε 2   =   - M   d i 1 / d t . O fluxo entre o solenoide de dentro e o de fora e:

ϕ 12 = ∫ B 1 ⋅ d A

onde B1 e o campo gerado pela corrente i 1 do solenoide de dentro e a integral e sobre a área da seção transversal do solenoide de fora.

Mas B 1 = µ 0 n 1 i 1 dentro do solenoide 1 e zero do lado de fora.

Assim, nao existe contribuição para a integral na área entre os solenoides (e, portanto, o tamanho do solenoide 2 nao importa);

entao,

ϕ 21 = B 1 π R 2 = μ 0 n 1 π R 1 2 i 1

Como existem n 2 espiras no solenoide 2 num comprimento, segundo a Lei de Indução de Faraday, podemos escrever a seguinte relação:

ε 2 = - n 2 l d ϕ 21 d t = - n 2 l μ 0 n 1 π R 1 2 d i 1 d t = - M d i 1 d t

Portanto, comparando os coeficientes, obtemos

M = μ 0 n 1 n 2 π R 1 2

"Se algo é difícil de fazer, vale a pena ser feito!"

Resposta

Vide a explicação.

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