Enunciado

Na Fig. 21-31, as partículas 1 e 2 , de carga q 1 = q 2 = + 3,20 × 10 - 19 C , estão no eixo y , a uma distância d = 17,0   c m da origem. A partícula 3 , de carga q 3 = + 6,40 × 10 - 19 C , é deslocada ao longo do eixo x , de x = 0 até x = + 5,0   m . Para que valor de x o módulo da força eletrostática exercida pelas partículas 1 e 2 sobre a partícula 3 é (a) mínimo e (b) máximo? Qual é o valor (c) mínimo e (d) máximo do módulo?

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!

Seja F o módulo da força exercida pela partícula 1 e pela partícula 2 sobre a partícula 2 sobre a partícula 3, seja e = + 1,60 × 10 - 19 C e seja θ o ângulo entre uma das forças acima e o eixo x . Nesse caso,

F res  = 2 F c o s ⁡ θ = 2 ( 2 e ) ( 4 e ) 4 π ϵ 0 x 2 + d 2 x x 2 + d 2 = 4 e 2 x π ϵ 0 x 2 + d 2 3 / 2 .

(a) Para determinar os valores de x para os quais a força é máxima ou mínima, derivamos a expressão apresentada em relação a x e igualamos o resultado a zero. É aconselhável desenhar um gráfico, tanto para compreender melhor o comportamento da função como para verificar se o valor calculado é um máximo ou um mínimo. Agindo dessa forma, constatamos que o valor obtido igualando a derivada a zero corresponde a um máximo [(veja o item (b)] e que o mínimo da função corresponde ao limite inferior do intervalo, ou seja, ao ponto x = 0 .

Passo 2

(b) Derivando a função do enunciado e igualando o resultado a zero, obtemos:

d F res  d x = 4 e 2 π ϵ 0 x 2 + d 2 3 / 2 - x ( 3 / 2 ) x 2 + d 2 1 / 2 ( 2 x ) x 2 + d 2 3 = 0 ,

o que nos dá, depois de algumas manipulações algébricas, x = d / 2 ≈ 12   c m .

Passo 3

(c) O valor da força resultante no ponto x = 0 é F res  = 0 .

Passo 4

(d) O valor da força resultante no ponto x = 12   c m   é   F res  = 4,9 × 10 - 26   N .

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Resposta

a. x = 0 .

b. x = d / 2 ≈ 12   c m .

c. F res  = 0 .

d. F res  = 4,9 × 10 - 26   N .

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