Enunciado

A Figura 10-52 mostra uma barra fina e uniforme, de comprimento L e massa M , e uma bolinha de massa de modelar de massa m . O sistema está sobre uma superfície horizontal sem atrito. A bolinha se move para a direita com a velocidade v → , atinge a barra a uma distância d de seu centro e lá fica grudada. Obtenha expressões para a velocidade do centro de massa e para a rapidez angular do sistema após a colisão.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A barra está parada em pé, com V → = 0 . A bolinha vem com velocidade inicial v → , bate e fica grudada na barra. Quando ela bate, a tendencia é o conjunto girar em torno do centro de massa do conjunto.

Por isso ele pede a velocidade angular do sistema ω e o momento angular depois da colisão L f . Então bora achar esses caras!

Na figura abaixo, podemos observar os diagramas que representam o sistema antes e depois da colisão:

Agora repara que, como não existe torque ou forças externas agindo sobre o sistema, temos que a quantidade de movimento, tanto angular quanto linear são conservadas na colisão. A ideia então é usar esses princípios para chegar em ω e L f . Vamos!

Passo 2

O nosso conjunto vai girar em torno do centro de massa dele. Onde está esse centro de massa do conjunto m + M ? Precisamos descobrir!

A barra tinha o centro de massa dela no meio. Mas o conjunto M + m tem um novo centro de massa.

Podemos encontrar a posição do centro de massa novo. Ela vai ser a média ponderada, em relação as massas, das posições do centro de massa da bolinha e da barra.

y c m = y 1 M + y 2 m M + m

Nossa origem vai ser no próprio centro de massa da barra. Então o centro de massa da barra é y 1 = 0 e o da bolinha é y 2 = d

y c m = 0 + d m M + m

y c m = m d M + m

Passo 3

Vamos então usar a conservação de momento angular!

L i = L f

O momento angular inicial da barra é zero porque ela está parada. Já da bolinha pode ser calculado por:

L c m = m v r

Sendo m a massa da bolinha, v a velocidade da bolinha e r a distância entre o CM e a bolinha.

É importante observar que essa fórmulinha serve para quando r e v → são perpendiculares. Isso acontece quando a bolinha tá quase colando na barra.

r é a distância na barra entre o CM e onde a bolinha bate, ou seja, r = d - y c m .

L i = m v d - y c m

Logo:

L i = m v d - m d M + m = m M v d M + m

Passo 4

Já o momento angular final é o momento do conjunto m + M . Ele pode ser dado por:

L f = I c m ω

O momento de inércia em relação ao C M centro de massa é dado pela soma dos momentos de inércia da bolinha e da barra em relação ao C M .

Para a bolinha, a gente pode considerar ela uma partícula:

I = m R 2

Sendo R a distância entre ela e o C M , então:

I 1 = m d - y c m 2

I 1 = m d - m d M + m 2

Já para a barra, a gente pode calcular o momento de inércia em relação ao centro da barra (seu centro de massa) e depois usar o teorema dos eixos paralelos:

I 2 = 1 12 M L 2 + M R 2

Sendo que aqui R é a distância entre o C M e o centro da barra:

I 2 = 1 12 M L 2 + M y c m 2

I 2 = 1 12 M L 2 + M m d M + m 2

Somando os dois:

I c m = I 2 + I 1

I c m = 1 12 M L 2 + M m d M + m 2 + m d - m d M + m 2

I c m = 1 12 M L 2 + m M d 2 M + m

Passo 5

Usando a conservação de momento angular, podemos achar ω :

L i = L f

L i = I c m ω

ω = L i I c m

Substituindo nossas expressões de L i e I c m :

ω = m M v d M + m 1 12 M L 2 + m M d 2 M + m

ω = m M v d 1 12 M L 2 ( M + m ) + m M d 2

Passo 6

E para achar o momento angular final, a gente volta uma casa haha. Lembra que

L f = L i

Então:

L f = m M v d M + m

Resposta

ω = m M v d 1 12 M L 2 ( M + m ) + m M d 2

L f = m M v d M + m

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