Enunciado

58. Um ovo de 50,0   g é fervido durante muito tempo está preso na extremidade de uma mola cuja constante é k = 25,0   N / m . Seu deslocamento inicial é 0,300   m . Uma força de amortecimento F x = b v x atua sobre o ovo e a amplitude do movimento diminui para 0,100   m em 5,0   s . Calcule o módulo da constante de amortecimento b .

Passo 1

Nesse problema, vamos nos atentar a mudança de amplitude que ocorreu com o tempo, para o movimento amortecido ele é descrito pela seguinte equação:

x = A e - ( b / 2 m ) t cos ⁡ ( ω ' t + ϕ )

Nessa equação podemos ver que a amplitude diminui durante o tempo graças a um fator exponencial.

O movimento começou em t = 0 , onde tínhamos x 1 = A 1 cos ⁡ ( ϕ ) e cinco segundos depois temos x 2 = A 1 e - ( b / 2 m ) 5 cos ⁡ ( ω ' 5 + ϕ ) , chamando A 2 = A 1 e - ( b / 2 m ) 5 , temos que:

0,1 = 0,3 e - ( b / 2 m ) 5

Por que disso tudo? Bem, agora temos uma fórmula onde conhecemos o valor de m e temos b presente, que é o que queremos encontrar, então basta isolar ele na equação e achar seu valor.

Passo 2

Vamos encontrar b então, temos:

0,1 = 0,3 e - ( b / 2 m ) 5

⇒ e - ( b / 2 m ) 5 = 0,1 0,3

⇒ - b 2 m 5 = ln ⁡ 0,1 0,3

⇒ b 2 m 5 = - ln ⁡ 0,1 0,3

Então temos que:

⇒ b = 2 m 5 ln ⁡ 0,3 0,1

Assim, ficamos com:

b = 2 * 0,05 5 ln ⁡ 0,3 0,1

⇒ b = 0,022   k g / s

Resposta

b = 0,022   k g / s

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