Enunciado

Na figura 33-62, um raio luminoso incide com um ângulo θ em uma face de um cubo de plástico transparente feito de um material cijo índice de refração é 1,56. As dimensões indicadas na figura são H = 2,00   c m e W = 3,00   c m . A luz atravessa o cubo e chega a uma das faces, onde sofre reflexão (voltada para o interior do cubo) e possivelmente refração (escapando para o ar). Esse é o ponto da primeira reflexão. A luz refletida atravessa novamente o cubo e chega a outra face, onde sofre uma segundra reflexão. Se θ 1 = 40 ° , determine em que face está (a) o ponto da primeira relexão e (b) o ponto da segunda reflexão. Se existe refração (c) no ponto da primeira reflexão e/ou (d) no ponto da segunda reflexão, determine o ângulo de refração; se não existe, responda “não há refração”. Se θ 1 = 70 ° , determine em que face está (e) o ponto da primeira relexão e (f) o ponto da segunda reflexão. Se existe refração (f) no ponto da primeira reflexão e/ou (h) no ponto da segunda reflexão, determine o ângulo de refração; se não existe, responda “não há refração”.

Passo 1

Os principais conceitos que precisamos para responder esse exercício são: refração, reflexão e Lei de Snell que é:

s e n   θ 1   n a r = s e n   θ 2   n c u b o

Tendo isso em mente podemos começar a pensar no problema.

Passo 2

a) Aqui precisamos saber em qual face está o ponto da primeira reflexão, para isso vamos fazer uma comparação. Primeiro vamos supor que na refração que ocorre na face 1, a luz consiga chegar no canto inferior direito, se isso acontecer temos que o ângulo da refração pode ser obitido pela tangente pois temos um triângulo retângulo:

tan ⁡ θ 2 = H W = 2 3

θ 2 = t a n - 1 2 3 = 37 °  

Agora podemos ver o que realmente aconteceu levando em conta a lei de Snell. Sabemos que θ 1 = 40 ° , n c u b o = 1,56 e o índice de refração do ar é aproximadamente 1, logo:

s e n   40 = s e n   θ 2   1,56

θ 2 = s e n - 1 s e n   40 1,56 = 24,33 °

Portanto como o ângulo de refração do que realmente aconteceu é menor que o ângulo que supomos para o canto superior direito do cubo. Temos que a face onde está localizado o ponto da primeira reflexão é na face 3.

Passo 3

b) Então sabemos que o ponto da primeira reflexão é na face 3 e ele está um pouco abaixo do canto superior direto, mesmo assim continuamos a ter um tirângulo retângulo e partir disso podemos saber o quão abaixo está esse ponto.

H - W tan ⁡ 24,33 = 0,643   c m

O ângulo de refração será 24,33° logo podemos calcular em que local estrá o 2 ponto.

0,643 tan ⁡ 90 ° - 24,33 ° = 1,42   c m

Esse comprimento é menor que 3,00   c m , que é o comprimento de W , logo temos que o pronto da segunda reflexão será na face 2 do cubo.

Passo 4

c) Para esse caso teremos sim a refração da luz e podemos calcular a partir da lei de Snell. Mas temos que tomar cuidado pois a luz está passando do cunho para o ar, então o ângulo θ 1 = 24,33 ° .

1,56   s e n   24,33 = s e n   θ 2

θ 2 = s e n - 1 1,56   s e n   24,33 = 40 °

Passo 5

d) Já nesse caso nos não teremos um ângulo de refração, pois o ângulo de face 2 medido em relação a normal é:

90 ° - θ 2 = 90 ° - 24,33 ° = 65,67 °

Que é muito maior que o ângulo crítico para a reflexão interna total. Desta maneira não há refração no ponto da segunda reflexão.

Passo 6

e) Agora pros demais item a ideia é a mesma. Vamos começar comparando os ângulos.

Sabemos que θ 1 = 70 ° , n c u b o = 1,56 e o índice de refração do ar é aproximadamente 1, logo:

s e n   70 = s e n   θ 2   1,56

θ 2 = s e n - 1 s e n   70 1,56 = 37,04 °

Portanto como o ângulo de refração do que realmente aconteceu é maior que o ângulo que supomos para o canto superior direito do cubo (37°). Temos que a face onde está localizado o ponto da primeira reflexão é na face 2.

Passo 7

f) Então sabemos que o ponto da primeira reflexão é na face 2 e ele está muito próximo da aresta do canto superior direto, portanto o 2 ponto de reflexão acontecerá na face 2.

Passo 8

g) Nesse caso nos não teremos um ângulo de refração, pois o ângulo de face 2 medido em relação a normal é:

90 ° - θ 2 = 90 ° - 37,04 ° = 52,94 °

Que é muito maior que o ângulo crítico para a reflexão interna total. Desta maneira não há refração no ponto da primeira reflexão.

Passo 9

h) Já para esse caso teremos sim a refração da luz e podemos calcular a partir da lei de Snell. Mas temos que tomar cuidado pois a luz está passando do cunho para o ar, então o ângulo θ 1 = 37,04 ° .

1,56   s e n   37,04 = s e n   θ 2

θ 2 = s e n - 1 1,56   s e n   37,04 = 7 0 °

Resposta

a) Face 3

b) Face 2

c) θ 2 = 40 °

d) Não há refração

e) Face 3

f) Face 2

g) Não há refração

h) θ 2 = 70 °

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