Enunciado

Na figura 33-65, um raio luminoso entra em uma placa de vidro no ponto A, com um ângulo de incidência θ 1 = 45,0 ° , e sofre reflexão interna total no ponto B. De acordo com essas informações, qual é o valor mínimo do índice de refração do vidor?

Passo 1

Do enunciado temos que θ 1 = 45,0 ° e que o reio luminoso sofre reflexão interna total no ponto B.

Vamos supor que θ 2 seja o ângulo de refração na primeira superfície e θ 3 seja o ângulo de incidência na segunda superfície. A condição para que haja reflexão interna total na segunda superfície é n   s e n   θ 3 ≥ 1 .

O raio luminoso está passando do ar para o vidro. Sabemos que o índice de refração do ar é aproximadamente 1, deta forma aplicando a lei de Snell para a primeira superfície:

s e n   θ 1 = n   s e n   θ 2

s e n   θ 2 = 1 n s e n   θ 1  

Vamos considerar o triângulo formado pelo vidro e o raio de luz, vemos que θ 3 = 90 ° - θ 2

Passo 2

Juntando todos esses resultados a condição para que haja reflexão interna total se torna:

1 ≤ s e n 90 ° - θ 2 = n cos ⁡ θ 2

Elevando esse resultado ao quadrado e usando a relação trigonométrica s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1 :

1 ≤ n 2 s e n 2   θ 2

Mas como s e n   θ 2 = 1 n s e n   θ 1 , temos:

1 ≤ 1 - s e n 2 θ 1 n 2   = n 2 - s e n 2     θ 1

Passo 3

Portanto o maior valor para n no qual a desigualdade é verdadeira é aquele para o qual:

1 = n 2 - s e n 2   θ 1

Isolando n obtemos que:

n = 1 + s e n 2   θ 1 = 1 + s e n 2   ( 45 ) = 1,22

Resposta

O índice de refração do vidro é n = 1,22

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