Enunciado

Figura abaixo, m 1 = 4,0   k g e o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano inclinado é 0,40 , (a) Encontre a faixa de valores possíveis para m 2 para a qual o sistema permanecerá em equilíbrio estático. (b) Encontre a força de atrito sobre o bloco de 4,0   k g se m 2 = 1,0   k g .

Passo 1

a) Olá, tá bem?

Então, vamos refletir. Temos um bloco na rampa e ele está ligado a outro bloco que está pendurado. Só o sistema está em equilíbrio, ou seja, está todo mundo paradinho.

Mas não sabemos m 2 , então a gente não sabe se ela é maior que m 1 e o bloco pendurado puxaria o outro para direita. Ou se m 1 é maior e esse bloco tende a deslizar para esquerda, puxando a massa m 2 .

E é exatamente isso que o enunciado pede. Ele quer saber o intervalo de valores que m 2 pode ter para que esse sistema fique em equilíbrio.

Vamos fazer um diagrama de corpo livre da situação:

Percebe que a gente colocou nos dois blocos a força peso F g para baixo. A tensão T onde temos a corda. F n porque há contato entre o bloco e a superfície. E colocamos a força de atrito estático f s .

Mas percebe que essa força precisa estar no sentido contrário à tendência do movimento. Só que a gente não sabe o sentido dessa tendência porque não sabe m 2 . Então representamos f s ali para um sentido, mas nas equações a gente vai considerar que ela pode estar no outro sentido também, ok?

Ah e atenção ao nosso sistema de coordenadas. É legal colocar x na direção do movimento. Mas cê pode escolher outros sistemas.

Bora!

Passo 2

De acordo com a 2° Lei de Newton no eixo x para o bloco m 1 , vamos ter

∑ F x = m a x

Como estamos em equilíbrio, a x = 0 , então:

∑ F x = 0

Aí nessa direção, a gente tem T positiva (no sentido positivo de x ), temos f s , mas ela pode estar em um sentido positivo ou negativo, então vamos colocar ± f s no somatório. E temos também a componente x de F g 1 que é dada por F g 1 x = m 1 g s e n 30 ° que aponta para x negativo.

O somatório de forças fica

T ± f s - m 1 g s e n 30 ° = 0

Agora a segunda lei de Newton para esse mesmo bloco para a direção y , sabendo que a y = 0 :

∑ F y = m a y → ∑ F y = 0

Nessa direção temos a força normal para a parte positiva e a componente y de F g 1 para baixo. O somatório fica:

F n - m 1 g c o s 30 ° = 0

F n = m 1 g c o s 30 °

Passo 3

Então a gente tem essas duas equações:

T ± f s - m 1 g s e n 30 ° = 0   i

F n = m 1 g c o s 30 °     i i

Aí a gente pode lembrar que a força de atrito estático máxima é dada por:

f s = μ s F n

Substituindo a expressão de F n de i i

f s = μ s m 1 g c o s 30 °

E substituindo essa expressão de f s em i :

T ± f s - m 1 g s e n 30 ° = 0

T ± μ s m 1 g c o s 30 ° - m 1 g s e n 30 ° = 0

Passo 4

Usando a 2° Lei de Newton para o bloco 2 em x, temos:

∑ F x = 0

m 2 g - T = 0

Somando essa equação com a última equação do passo 3, temos:

T ± μ s m 1 g c o s 30 ° - m 1 g s e n 30 ° + m 2 g - T = 0

m 2 = m 1 ( ± μ s c o s 30 ° + s e n 30 ° )

Substituindo os valores numéricos:

m 2 = 4,0   k g ± 0,40 c o s 30 ° + s e n 30 °

Aí temos dois valores de m 2 , um se a gente usar o sinal de menos e outro se a gente usar o sinal de mais:

m 2 = 3,4 k g ou m 2 = 0,61 k g

Esses dois valores encontrados são os limites possíveis para a massa m 2 para o sistema permanecer em equilíbrio. Portanto,

0,61 k g ≤ m 2 ≤ 3,4 k g

Passo 5

b) Queremos o valor da força de atrito agora para que haja equilíbrio.

Com m 2 = 1 k g , a tendência de movimento do bloco 1 é para esquerda, já que o bloco de 4 k g vai ter maior massa. Portanto, nesse caso, a força de atrito tem o mesmo sentido da tração no bloco 1. Assim:

A segunda lei de Newton na direção x para o bloco   m 1 fica

∑ F x = 0

T + f s - m 1 g s e n 30 ° = 0

Repara f s fica positiva porque sabemos seu sentido. Para o bloco m 2 , o somatório em x fica:

∑ F x = 0

m 2 g - T = 0

Somando essas duas equações:

T + f s - m 1 g s e n 30 ° + m 2 g - T = 0

f s = m 1 g s e n 30 ° - m 2 g

Substituindo por valores numéricos:

f s = 4,0 k g s e n 30 ° - 1,0 k g 9,81 m s 2 = 9,8 N

Resposta

a   0,61 k g ≤ m 2 ≤ 3,4 k g

b   f s = 9,8 N

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