Enunciado

Você está fazendo um estágio em química ambiental, e está responsável por uma amostra de ar que contém partículas de poluição do tamanho e densidade dados no problema 72 . Você captura a amostra em um tubo de ensaio de 8,0 cm de altura. Você então coloca o tubo de ensaio em uma centrífuga com o ponto médio do tubo a 12   c m do eixo de rotação da centrífuga. Você programa a centrífuga para girar a 800 revoluções por minuto. (a) Estime o tempo que você precisa esperar para que quase todas as partículas de poluição repousem no fundo do tubo. (b) Compare esse resultado ao tempo necessário para que uma partícula de poluição caia 8,0   m sob ação da gravidade e sujeito a força de arrasto dada no problema 72 .

Passo 1

(a) Quando a centrífuga gira, a força de arrasto experimentada pelas partículas dentro do tubo cumprirá o papel de força centrífuga:

∑ F c = m a c

Usando a expressão que foi dada no problema 72 , ficamos com:

6 π η r v = m v 2 r C

Vamos reescrever esse termo da direita, também aproveitando os resultados da questão anterior, tínhamos encontrado a seguinte expressão para a massa:

m = ρ 4 3 π r 3

E para a velocidade, podemos usar a própria definição:

v = Δ s Δ t = 2 π r C T

Onde T é o período de revolução da centrífuga.

Passo 2

Vamos substituir essas duas expressões na equação dinâmica que montamos em cima. Substituindo isso tudo na equação de cima:

6 π η r v = ρ 4 3 π r 3 2 π r C T 2 r C

6 π η r v = 16 3 T 2 ρ π 3 r 3 r C

Nosso objetivo é estimar um tempo de deslocamento para essas partículas, então vamos isolar a rapidez terminal:

v = 8 π 2 ρ r 2 r C 9 η T 2

E essa rapidez se relaciona com um tempo de deslocamento qualquer pela seguinte fórmula:

v = Δ x Δ t

Passo 3

Para que todas as partículas estejam repousando no fundo do tubo, temos que esperar tempo suficiente para que todo o comprimento de 8,0   c m = 0,08   m seja percorrido, ou seja:

v = Δ x Δ t         ⇒         Δ t = Δ x v

Δ t = 0,08 8 π 2 ρ r 2 r C 9 η T 2 = 9 η T 2 0,08 8 π 2 ρ r 2 r C

Substituindo os valores numéricos (inclusive os que foram dados no problema anterior):

Δ t = 9 1,8.10 - 5 0,08 T 2 8 π 2 2000 0,12 10 - 5 2

E precisamos calcular o período T das revoluções da centrífuga. Sabemos que ela faz 800 revoluções a cada 60 segundos, então:

T = 60 800 = 0,075   s

Δ t = 9 1,8.10 - 5 0,08 0,075 2 8 π 2 2000 0,12 10 - 5 2 = 0,03847   s

Δ t = 38   m s

Passo 4

(b) No problema anterior tínhamos calculado que a rapidez terminal da partícula era v = 2,43   c m / s . Nesse caso, quanto tempo a partícula levaria para percorrer essa mesma distância de 8,0 cm?

Δ t ' = Δ x v = 8,0 2,43 = 3,29   s

Como esse tempo se compara ao que calculamos no caso da centrífuga?

Δ t ' Δ t = 3,29 0,038 ≅ 86

Ou seja, a partícula livre no ar demora 86 vezes mais para cair.

Resposta

(a) Δ t = 38   m s .

(b) A queda da partícula na centrífuga é 86 vezes mais rápida.

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