Enunciado

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Na figura abaixo, uma barra fina e homogênea (com 4 m de comprimento e uma massa de 3 k g ) gira livremente em torno de um eixo horizontal A que é perpendicular à barra e passa por um ponto situado a uma distância d = 1 m da extremidade da barra. A energia cinética da barra ao passar pela posição vertical é 20 J .

( a ) Qual é o momento de inércia da barra em relação ao eixo A ?

( b ) Qual é a velocidade linear da extremidade B da barra ao passar pela posição vertical?

( c ) em que ângulo θ a barra para momentaneamente?

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vamos praticar o cálculo de momento de inércia e dinâmica rotacional?

O problema pede o momento de inércia em relação ao eixo A , então vou facilitar a nossa vida e escolher quando o ângulo θ = 0 , pois não preciso decompor nenhuma distância até o ponto A .

Outra coisa, as barras são homogêneas, isso quer dizer que M / L é contante.

Fazendo d m = M / L d r e assumindo que a distância r é ao longo da barra temos:

I = ∫ r 2 d m

I = ∫ 0 d M L   r 2 d r +   ∫ 0 4 - d M L   r 2 d r

Se a barra tem comprimento total de 4 metros e d mede 1 m , então o pedaço que está abaixo do eixo tem 3 m de comprimento. A massa da barra M = 3 k g e ela tem comprimento L = 4 m , então é só calcular a integral e aplicar os limites:

I = 3 4 . r 3 3 0 1 + 3 4 . r 3 3 0 3 = 3 4 . 1 3 + 3 4 . 27 3 = 1 4 + 27 4 = 28 4 = 7 k g . m ²

Passo 2

Agora o problema quer a velocidade linear. Pra isso precisamos da velocidade angular, não é verdade? Bom, mas de que forma podemos determinar?

Se você foi dar uma espiada no enunciado e achou a energia está certo! Vamos relacionar a energia cinética com a velocidade angular!

Assim:

E = I ω 2 2

20 = 7 . ω 2 2

40 7 = ω 2

ω = 2,39 r a d / s

Sabemos agora a velocidade angular ω e sabemos a distância do raio de rotação, que é a distância do eixo A até a extremidade B , que é r = 4 - d = 3 m .

Pronto, agora é só jogar tudo na fórmula da velocidade linear. Lembrando que “quem vê bunda ri”:

v = ω . r = 2,39.3 = 7,17 m / s

Passo 3

A barra vai parar momentaneamente quando toda sua energia cinética for convertida em energia potencial gravitacional:

E c = E p

Mas que altura usamos? Bom, lembrando que o ponto A está na distância d = 1 , a r c o s ( θ ) , com r = 2 m , pois a barra não sobe mais do que a metade, né?. Assim temos:

I = m . g . l c o s ( θ )

20 = 3.9,8.2 . cos ⁡ θ

θ = 71 °

É isso! Vamos pra próxima?

Resposta

( a )   7 k g . m ²  

b 7,17 m / s

( c ) θ = 71 °

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