Enunciado

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A figura abaixo mostra a energia potencial U ( x ) de uma bola maciça que pode rolar ao longo de um eixo x . A escala do eixo U é definida por U s = 100 J . A bola é homogênea, rola suavemente e possui uma massa m = 0,4 k g . Ela é liberada em x = 7 m quando se move no sentido negativo do eixo x com uma energia mecânica de 75 J .

( a ) Se a bola pode chegar ao ponto x = 0 qual é sua velocidade nesse ponto, e se não pode, qual é o ponto de retorno?

Suponha que a bola esteja movendo no sentido positivo do eixo x ao ser liberada em x = 7 m com 75 J . ( b ) Se a bola pode chegar ao ponto x = 13 m , qual é sua velocidade nesse ponto e se não pode, qual é o ponto de retorno?

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vamos praticar um pouco de energia rotacional? Dá uma olhadina no desenho que fiz em cima dessa figura do enunciado:

O ponto de reversão é aquele no qual a partícula já converteu toda sua energia mecânica em energia potencial e, pelo prinecípio de conservação, é máximo de troca de energia que ela pode realiza. Sendo assim, como a partícula foi lançada de x = 7 m e se desloca para a esquerda, o maior valor de energia potencial que ela pode atingir é a energia mecânica e isso acontece na posição x = 2 m . É onde a curva preta (energia potencial) encontra a curva roxa (energia mecânica- que é sempre constante em 75 J )

Passo 2

Agora vamos olhar pro lado direito daquela mesma figura do passo 1 . Agora na posição x = 13 m a bola não só consegue chegar mas também tem velocidade diferente de zero.

Pelo princípio de conservação de energia temos que a soma das energias envolvidas vai ter o mesmo valor em qualquer ponto. Se a energia mecânica é 75 J e em x = 13 m a energia potencial gravitacional é 60 J (dá uma espiada na parte azul que desenhei), então a energia cinética vai ter um valor de K = E m e c - U = 15 J .

Passo 3

A energia cinética agora vai ser dividida em energia cinética de rotação e de translação.

K = K r o t + K t r a n s

Como não há deslizamento a velocidade do centro de massa v c m = r . ω e o momento de inércia de uma bola maciça é I = 2 / 5 m r 2 . Bom, agora vamos substituir os valores:

15 = 1 2 I ω 2 + m v c m 2 2

1 2 . 2 5 m r 2 v c m r 2 + 1 2 m v c m 2 = 15

Agora podemos juntar em uma só fração no lado esquerdo! Saca só:

1 5 m v c m 2 + 1 2 m v c m 2 = 15

7 10 m v c m 2 = 15

m v c m 2 = 15.10 7

v c m 2 = 15.10 7.0,4 = 53,6

Beleza! Agora é só tirar a raiz quadrada!

v c m = 7 ,   3   m / s

Show!

Bora treinar mais?

Resposta

a n ã o   p o d e ; p o n t o   d e   r e t o r n o   e m   x = 2 m  

b 7,3   m / s

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