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Pedras que rolam. Uma pedra esférica, uniforme e maciça parte do repouso e rola para baixo de uma colina de 50,0   m de altura, como indica a Figura 10.60 . A metade superior da colina é áspera o suficiente para fazer a pedra rolar sem deslizar, mas a metade inferior está coberta de gelo e não há atrito. Qual é a velocidade escalar de translação da pedra, quando ela atinge a base da colina?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Então, nesse problema nós temos um começo e um fim. Explicando melhor, nós temos um ponto inicial em que a pedra está em repouso e um ponto final onde ela atinge a base da colina. Mas repara que nessa descida ela passa por duas situações diferentes: uma na parte áspera e outra na lisa.

Pensando primeiro no inicio e fim, para determinar a velocidade em que ela atinge essa base, podemos usar o principio de conservação da energia:

U 1 + K 1 = U 2 + K 2

Inicialmente ela não tem energia cinética pois está em repouso, e por fim, ela não tem energia potencial pois ainda resta movimentação da mesma. Logo, temos:

U 1 + 0 = 0 + K 2

Substituindo as relações:

m g h = 1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2

Em se tratando de uma esfera maciça, o momento de inércia é o seguinte: I = 2 5 M R 2 . Então,

m g h 1 = 1 2 m v 2 + 1 2 2 5 m R 2 v R 2

Cancelamos a massa pois ela é constante e simplificando tudo ficamos com:

g h 1 = 1 2 v 2 + 1 5 v 2

Isolando a velocidade, temos:

h 1 = 7 v 2 10   g

v 2 = 10 g h 1 7

Terminou?? Nãao!! Lembra que ela passa por duas situações? Então, a velocidade que calculamos é para a parte áspera que esta na parte inferior da colina, ainda precisamos calcular para a parte lisa. Mas se liga que já sabemos a velocidade com que ela troca de situação. Vamos lá!!

Passo 2

Na parte lisa, a pedra já está deslizando até que atinge a base, sendo assim, devemos considerar a energia potencial, cinética e rotacional. Mas, nessa parte, a energia cinética rotacional não muda, portanto:

m g h 2 + 1 2 m v 2 + K r o t = m g h b a s e + 1 2 m v b a s e 2 + K r o t

m g h 2 + 1 2 m v 2 = 1 2 m v b a s e 2

Eliminando os termos semelhantes e substituindo o v 2 que achamos no passo 1 , temos...

g h 2 + 1 2 10 g h 1 7 = 1 2 v b a s e 2

Isolamos o v b a s e :

v b a s e = 2 g h 2 + 10 7 g h 1

Hum... estranho essas alturas né??? É só dividirmos h = 50   m , uma vez que fizemos a analise por partes lisa e áspera.

Substituimos os dados:

v b a s e = 2 × 9,8 m s 2 × 25   m + 10 7 × 9,8 m s 2 × 25   m

v b a s e = 29   m / s

Prontinho!!

Resposta

Resposta: v b = 29   m / s .

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