Enunciado

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Na figura abaixo duas partinadoras com 50   kg de massa, que se movem com uma velocidade escalar de 1,4   m/s , se aproximam em trajetórias paralelas separadas por 3   m . Uma das patinadoras carrega uma vara comprida, de massa desprezível, segurando-a em uma das extremidades, e a outra se agarra à outra extremidade ao passar pela vara, o que faz com que as patinadoras passem a descrever uma circunferência em torno do centro da vara. Suponha que o atrito entre as partinadoras e o gelo é desprezível. Qual é

  1. o raio da circunferência;
  2. a velocidade angular das patinadoras,
  3. e a energia cinética do sistema das duas partinadoras?
  4. Em seguida, as patinadoras puxam a vara até ficarem separadas por uma distância de 1   m . Nesse instante, qual é:

  5. a velocidade angular das patinadoras e
  6. a energia cinética do sistema?
  7. De onde vem a energia cinética adicional?

Passo 1

Belezera galerinha, o raio da circunferência vai ser bem no centro da barra, ou seja em:

r = 3   m 2

r = 1,5   m

E sua velocidade angular é dada pela expressão:

v = ω r

Onde v é a velocidade linear, dada pelo enuciado como v = 1,4   m/s , ou seja:

ω = v r

ω = 1,4 1,5

ω = 0,93   rad/s

Passo 2

O problema pede a energia cinética do sistema. O sistema só vai ter energia cinética de rotação, afinal o centro de massa do sistema quando elas estão rodando, não se movimenta a ponto de possuir energia cinética de trasnlação. Sendo assim, vamos calcular primeiro o momento de inércia das partinadoras, dado por:

I = ∑ m r 2

I = 2 . m R 2

Logo:

I = 2.50 . 1,5 2

I = 225   kg.m²

Agora podemos calcular a energia de rotação dada por:

E r o t = 1 2 I ω 2

Portanto:

I = 225 . 0,93 2 2

I = 97,30   J

Passo 3

Agora no próximo passo, elas encurtam a distância entre elas, ficando com um raio de rotação de 0,5   m . Ao fazerem isso a conservação do momento angular entra em ação, ou seja:

L i = L f

I i ω i = I i ω f

Onde o momento angular inicial é igual ao momento angular final! Dessa maneira, temos que o momento inicial será:

L i = I i ω i

L i = 2 m R i 2 ω i

E já o momento final é dado por:

L f = I f ω f

L = 2 m R f 2 ω f

Pela conservação do momento angular:

L i = L f

2 m R i 2 ω i = 2 m R f 2 ω f

Onde temos que:

ω i = R f R i 2 ω f

Portanto:

ω i = 1,5 0,5 2 0,93

ω f = 8,37   rad/s

Passo 4

A nova energia cinética vai ser:

E = I ω 2 2

E = 2 m R f 2 ω f 2 2

E = m R f 2 ω f 2

Logo:

E = 50 ⋅ 0,5 2 ⋅ 8,37 2

E = 876   J

Mas como pode ter aumentado? Da onde veio?

Bom! Veio justamente da energia interna das patinadoras! Quando elas fazem força para se aproximarem, realiza trabalho sobre o sistema, fornecendo essa nova energia.

Resposta

  1. 1,5   m  
  2. 0,93   rad/s
  3. 97,30   J
  4. 8,37   rad/s
  5. 876   J
  6. e nergia interna das  partinadoras

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