Enunciado

A Figura abaixo mostra como a força exercida pelo fio de um arco varia em função da distância em que a flecha é puxada para trás (o comprimento de deformação). Suponha que a mesma força seja fornecida para a flecha que se move para frente quando o fio é liberado. A deformação máxima para esse arco corresponde a um comprimento de deformação igual a 75,0 cm. Se o arco atira uma flecha de 0,0250 kg quando ele está submetido a uma deformação máxima, qual é a velocidade da flecha quando ela abandona o arco?

Passo 1

Pensando no trabalho como através da aproximação da curva F vesus x como uma parábola que vai de x = 0 até x = xo , teremos que quando Fo for máximo:

x = x o 2

F x =   4 F o x o 2 x ( x 0 - x ) x

Como admitimos que a curva é uma parábola ficou fácil encontrar Fo máximo pelas formulas que já conhecemos para valores máximos e mínimos de uma parábola, não é mesmo?

Então vamos em frente. O trabalho pode ser:

w = ∫ x x o F . d x

Substituindo o Fx na integral e definindo os extremos como aqueles já citamos acima, vai ficar:

w = ∫ 0 x o 4 F o x o 2 x x 0   - x d x

Tendo descoberto o valor do trabalho, usaremos a seguinte fórmula para acharmos a velocidade:

v = 2 W m

Agora que sabemos tudo o que temos que fazer, vamos aplicar os valores e resolver a questão!

Passo 2

Resolvendo a integral...

w = ∫ 0 x o 4 F o x o 2 x x 0   - x d x

w = 4 F o x o 2   ∫ 0 x o x x 0   - x d x

W = 4 F o x o 2 . (xo x o 2 2 x 0 3 3 )

w = 2 3 F o x o

Pelo gráfico vemos que o valor máximo de F é 200N e xo pela questão é 0,75 metros. Substituindo os valores temos:

w = 2 3 .   200   .   0,75

w   =   100   J

Aplicando na formula para acharmos a velocidade:

v = 2 W m

v = 2.100 0,025

v =   89,4   m / s

Prontinho!

Resposta

Resposta: A velocidade é 89,4 m/s.

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