Enunciado

O motor de um carro de massa m fornece uma potência constante P para as rodas, para acelerar o carro. Despreze a resistência do ar e o atrito de rolamento. O carro está inicialmente em repouso. a) Mostre que a velocidade do carro é dada em função do tempo por v = 2 P t m 1 2 . b) Mostre que a aceleração do carro não é constante, mas é dada em função do tempo por a = P 2 m t 1 2 . c) Mostre que o deslocamento é dado em função do tempo por x - x 0 = 8 P 9 m 1 2   t 3 2   .

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui queremos a velocidade do carro!
  2. Vamos lembrar que na física a energia é definida como a potência multiplicada pelo tempo:

    E   =   P t

    E temos que energia cinética dada por:

    E c   =   1 2 m v 2

    Ao substituirmos a segunda expressão na primeira temos que:

    P t   =   1 2 m v 2

    Isolando a velocidade obtemos:

    v   =   2 P t m

    Fácil, não é mesmo?

    Passo 2

  3. Para demonstrar que a aceleração é dada em função do tempo, basta aplicar a derivada na velocidade:
  4. a   =   d v d t  

    Substituindo a equação da velocidade,

    a   =   d ( 2 P t m ) d t

    Aqui, 2 P m se trata de uma constante em multiplicação, então ela sai da derivada, ficando apenas a derivada de t :

    a   =   2 P m   d t d t

    a   =   2 P m   1 2 t

    a   = P 2 m t

    Passo 3

  5. Para demonstrarmos que o deslocamento pode ser dado em função do tempo, basta lembrarmos que a derivada do espaço pelo tempo é igual a velocidade:

v = d x d t

Passando dt para o lado da velocidade, é possível integrar os dois lados da igualdade obtendo a expressão para o espaço em função do tempo:

∫ x 0 x d x = ∫ v   d t

x - x 0 = ∫   d t

A velocidade é uma constante, logo sai da integral e pode ser substituída pelo valor encontrado anteriormente de v = 2 P t m

x - x 0 = 2 P t m ∫   d t

O t pode sair da raiz multiplicando a integral e passar a ser um termo integrável:

x   –   x 0   =   2 P m ∫ t   d t

Resolvendo a integral, temos que:

x   –   x 0 = 2 P m   2 3   t 3 / 2

Resposta

  1. v   =   2 P t m
  2. a   = P 2 m t
  3. x   –   x 0 = 2 P m   2 3   t 3 / 2
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