Enunciado

58 . Quando um corpo é deslocado uma quantidade x   do equilíbrio estável, uma força restauradora age sobre ele, tendendo a retornar o corpo a sua posição de equilíbrio. O módulo da força restauradora pode ser uma função complicada de x . Em tais casos, podemos geralmente imaginar a função força F ( x ) a ser expressa como uma série de potência em x   como F ( x )   =   – ( k 1 x   +   k 2 x 2   +   k 3 x 3   + … ) . O primeiro termo aqui é exatamente a lei de Hooke, que descreve a força exercida por uma mola simples para pequenos deslocamentos. Para pequenos deslocamentos do equilíbrio, geralmente ignoramos os termos de ordem superior, mas em alguns casos pode ser desejável manter também o segundo termo. Se considerarmos a força de restauração como F   =   – ( k 1 x   +   k 2 x 2 ) , quanto trabalho é realizado sobre um corpo para deslocá-lo de x   =   0 a x   =   x m á x . por uma força aplicada – F ?

Passo 1

Quando temos uma força variável sendo exercida sobre um corpo que se movimento pelo eixo x , sabemos pela equação 6.7 do nosso livro que o trabalho realizado por essa força é dado por:

W = ∫ x i x f F x   d x

Sabendo que a força de restauração é uma força variável vamos usar essa formulinha acima para resolver o nosso exercício.

Então, vem comigo!

Passo 2

Como o enunciado nos diz x i = 0 , x f = x m á x e F   =   – ( k 1 x   +   k 2 x 2 ) , ou seja, temos tudo o que precisamos para encontrar o trabalho realizado por essa força.

Porém repare uma coisinha, o enunciado pede no final o trabalho realizado sobre um corpo por uma força aplicada – F , isto é, temos que colocar o sinal negativo na nossa força:

W = ∫ x i x f - - F   d x = ∫ 0 x m á x k 1 x   +   k 2 x 2 d x = ∫ 0 x m á x k 1 x   d x + ∫ 0 x m á x   k 2 x 2   d x

= k 1 x 2 2 0 x m á x + k 2 x 3 3 0 x m á x = k 1 2 x m á x 2 + k 2 3 x m á x 3

E é esse o nosso resultado!

Resposta

W = k 1 2 x m á x 2 + k 2 3 x m á x 3

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